해가 주어진 삼각부등식의 상수 구하기

$\cos x = t$라 하면 $- 1 \leq t \leq 1$이고 $2 t ^{2} - ( 2 a + 1 ) t + a \leq 0$, $( 2 t - 1 ) ( t - a ) \leq 0$ 한편 $\displaystyle \frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{5}{3} \pi$는 $\displaystyle - 1 \leq \cos x \leq \frac{1}{2}$, 즉 $\displaystyle - 1 \leq t \leq \frac{1}{2}$와 같다. (ⅰ) $\displaystyle a \geq \frac{1}{2}$일 때, $( 2 t - 1 ) ( t - a ) \leq 0$의 해는 $\displaystyle \frac{1}{2} \leq t \leq a$이므로 $\displaystyle t < \frac{1}{2}$인 $t$를 해로 가질 수 없다. (ⅱ) $\displaystyle a < \frac{1}{2}$일 때, 해는 $\displaystyle a \leq t \leq \frac{1}{2}$이고 이것이 $\displaystyle - 1 \leq t \leq \frac{1}{2}$와 같으려면 $a \leq - 1$ 실제로 $a = - 1$이면 $( 2 t - 1 ) ( t + 1 ) \leq 0$에서 $\displaystyle - 1 \leq t \leq \frac{1}{2}$이므로 조건을 만족시킨다. 따라서 $a$의 최댓값은 $- 1$