공통근과 나머지 근의 곱으로 계수 구하기

공통근을 $\alpha$라 하면 $\alpha ^{2} + a \alpha + b = 0$ …㉠ $\alpha ^{2} + b \alpha + a = 0$ …㉡ ㉠$-$㉡에서 $( a - b ) \alpha - ( a - b ) = 0$, $( a - b ) ( \alpha - 1 ) = 0$ $a \ne b$이므로 $\alpha = 1$ ㉠에서 $1 + a + b = 0$이므로 $a + b = - 1$ …㉢ 근과 계수의 관계에 의하여 $x ^{2} + ax + b = 0$의 두 근의 곱은 $b$이므로 공통근이 아닌 근은 $b$ $x ^{2} + bx + a = 0$의 두 근의 곱은 $a$이므로 공통근이 아닌 근은 $a$ 공통근이 아닌 두 근의 곱이 $- 6$이므로 $ab = - 6$ …㉣ ㉢, ㉣에서 $a ^{2} + b ^{2} = ( a + b ) ^{2} - 2 ab = 1 + 12 = 13$ (실제로 $a$, $b$는 $t ^{2} + t - 6 = 0$의 두 근 $2$, $- 3$이고, 이때 두 방정식은 $x ^{2} + 2 x - 3 = 0$, $x ^{2} - 3 x + 2 = 0$으로 공통근 $1$을 갖는다.) 따라서 $a ^{2} + b ^{2} = 13$