f^6(x)=x 인 함수의 주기 구조와 개수

실마리: $f ^{6} ( x ) = x$가 모든 $x$에서 성립하면 $f$는 일대일대응이고, 각 원소는 $f$를 되풀이할 때 제자리로 돌아오는 순환마디에 속한다. $f ( x _{1} ) = f ( x _{2} )$이면 $x _{1} = f ^{6} ( x _{1} ) = f ^{5} ( f ( x _{1} ) ) = f ^{5} ( f ( x _{2} ) ) = f ^{6} ( x _{2} ) = x _{2}$이므로 $f$는 일대일대응이다. 따라서 $X$는 $x \rightarrow f ( x ) \rightarrow f ^{2} ( x ) \rightarrow \cdots$ 로 이어져 제자리로 돌아오는 순환마디들로 나뉘고, (가)에 의하여 각 마디의 길이는 $6$의 약수 $1 , 2 , 3 , 6$ 중 하나이다. 길이가 $1 , 2 , 3 , 6$인 마디의 개수를 각각 $a , b , c , d$라 하면 $a + 2 b + 3 c + 6 d = 7$ $f ^{2} ( x ) = x$인 $x$는 길이가 $1$ 또는 $2$인 마디의 원소이므로 (나)에서 $a + 2 b = 4$ $f ^{3} ( x ) = x$인 $x$는 길이가 $1$ 또는 $3$인 마디의 원소이므로 (다)에서 $a + 3 c = 5$ $a + 2 b = 4$에서 $a$는 $4$ 이하의 짝수이고, $a = 5 - 3 c$이므로 $a = 2$, $c = 1$ 이때 $b = 1$이고 $2 + 2 + 3 + 6 d = 7$에서 $d = 0$ 즉 $f$는 고정점 $2$개, 길이 $2$인 마디 $1$개, 길이 $3$인 마디 $1$개로 이루어진다. 고정점이 될 원소 $2$개를 고르는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{7 \times 6}{2} = 21$ 나머지 $5$개 중 길이 $2$인 마디를 이룰 원소 $2$개를 고르는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 남은 $3$개의 원소 $p , q , r$로 길이 $3$인 마디를 만드는 방법은 $p \rightarrow q \rightarrow r \rightarrow p$, $p \rightarrow r \rightarrow q \rightarrow p$의 $2$가지 따라서 구하는 함수 $f$의 개수는 $21 \times 10 \times 2 = 420$이다.