대칭인 곡선과 직선 사이의 넓이

두 함수 $\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} \left( x + 2 \right) ^{2} & ( x \leq 0 ) \\ - \left( x - 2 \right) ^{2} + 8 & ( x > 0 ) \end{cases}$, $y = mx + 4$의 그래프를 그리면 다음과 같다.

두 함수는 모두 점 $\left( 0 , 4 \right)$에 대하여 대칭이므로 $y = mx + 4$, $y = ( x + 2 ) ^{2}$로 둘러싸인 넓이와 $y = mx + 4$, $y = - ( x - 2 ) ^{2} + 8$로 둘러싸인 넓이가 같다. 따라서 곡선 $y = f ( x )$와 직선 $y = mx + 4$로 둘러싸인 부분의 넓이 $h ( m )$은 $y = mx + 4$, $y = ( x + 2 ) ^{2}$로 둘러싸인 넓이의 $2$배와 같다. $x ^{2} + 4 x + 4 = mx + 4$에서 $x ^{2} - ( m - 4 ) x = 0$ $x = 0$ 또는 $x = m - 4$ 따라서 두 함수 $y = mx + 4$, $y = ( x + 2 ) ^{2}$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \int _{m - 4} ^{0} \left\{ ( mx + 4 ) - ( x + 2 ) ^{2} \right\} dx$이므로 $h ( m )$$= 2 \times$$\displaystyle \int _{m - 4} ^{0} \left\{ ( mx + 4 ) - ( x + 2 ) ^{2} \right\} dx$ $\displaystyle = 2 \times \frac{( 4 - m ) ^{3}}{6}$ $\displaystyle = \frac{( 4 - m ) ^{3}}{3}$ $\therefore$$\displaystyle h ( - 2 ) + h ( 1 ) = \frac{6 ^{3}}{3} + \frac{3 ^{3}}{3} = 72 + 9 = 81$