축의 위치에 따른 항상 성립 조건

$\sin x = t$라 하면 $- 1 \leq t \leq 1$ $f ( t ) = t ^{2} - 2 at + a + 2 = ( t - a ) ^{2} - a ^{2} + a + 2$라 하면 $- 1 \leq t \leq 1$에서 항상 $f ( t ) \geq 0$이어야 한다. (ⅰ) $a \leftarrow 1$일 때, 최솟값은 $f ( - 1 ) = 3 a + 3 < 0$이므로 성립하지 않는다. (ⅱ) $- 1 \leq a \leq 1$일 때, 최솟값은 $f ( a ) = - a ^{2} + a + 2$이므로 $- a ^{2} + a + 2 \geq 0$에서 $( a - 2 ) ( a + 1 ) \leq 0$, $- 1 \leq a \leq 2$ 따라서 $- 1 \leq a \leq 1$ (ⅲ) $a > 1$일 때, 최솟값은 $f ( 1 ) = 3 - a$이므로 $3 - a \geq 0$에서 $a \leq 3$ 따라서 $1 < a \leq 3$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $- 1 \leq a \leq 3$ 따라서 $a$의 최댓값 $3$과 최솟값 $- 1$의 합은 $2$