공통수학1이차방정식과 이차함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부호가 다른 두 근의 절댓값의 합

문제

이차방정식 x2−(m+3)x+m2−9=0x ^{2} - ( m + 3 ) x + m ^{2} - 9 = 0의 두 근 α,β\alpha , \beta의 부호가 서로 다르고 ∣α∣+∣β∣=6\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| = 6일 때, 실수 mm의 값을 구하시오. [4점]

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해설

근과 계수의 관계에서 α+β=m+3,αβ=m2−9\alpha + \beta = m + 3 , \alpha \beta = m ^{2} - 9 두 근의 부호가 서로 다르므로 αβ<0\alpha \beta < 0에서 (m+3)(m−3)<0( m + 3 ) ( m - 3 ) < 0, 즉 −3<m<3- 3 < m < 3 …… ㉠ 두 근의 부호가 서로 다르므로 ∣α∣+∣β∣=∣α−β∣\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| = \left| \alpha - \beta \right| (α−β)2=(α+β)2−4αβ( \alpha - \beta ) ^{2} = ( \alpha + \beta ) ^{2} - 4 \alpha \beta =(m+3)2−4(m2−9)=−3m2+6m+45= ( m + 3 ) ^{2} - 4 ( m ^{2} - 9 ) = - 3 m ^{2} + 6 m + 45 ∣α−β∣=6\left| \alpha - \beta \right| = 6에서 −3m2+6m+45=36- 3 m ^{2} + 6 m + 45 = 36 m2−2m−3=0m ^{2} - 2 m - 3 = 0, (m+1)(m−3)=0( m + 1 ) ( m - 3 ) = 0 m=−1m = - 1 또는 m=3m = 3 ㉠에서 m=−1m = - 1 실제로 m=−1m = - 1이면 x2−2x−8=(x−4)(x+2)=0x ^{2} - 2 x - 8 = ( x - 4 ) ( x + 2 ) = 0이므로 두 근은 4,−24 , - 2이고 ∣4∣+∣−2∣=6\left| 4 \right| + \left| - 2 \right| = 6이다. 따라서 m=−1m = - 1이다.

태그

#이차방정식#근의 부호#근과 계수의 관계#절댓값

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