부등식을 만족시키는 최솟값

최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f \left( x \right)$를 $f \left( x \right) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c$ 라 하면 $f' \left( x \right) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$ $f' \left( - 1 \right) = f' \left( 1 \right) = 0$이므로 $3 x ^{2} + 2 ax + b = 0$의 두 근이 $- 1$, $1$이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에서 $\displaystyle - \frac{2 a}{3} = 0$, $\displaystyle \frac{b}{3} = \mathit{-} 1$ 즉 $a = 0$, $b = \mathit{-} 3$이므로 $f \left( x \right) = x ^{3} - 3 x + c$ $f \left( x \right) \leq 9 x + 9$에서 $x ^{3} - 12 x \leq 9 - c$ $g \left( x \right) = x ^{3} - 12 x$라 하면 $g' \left( x \right) = 3 x ^{2} - 12 = 3 \left( x + 2 \right) \left( x - 2 \right)$ $g' \left( x \right) = 0$에서 $x = \mathit{-} 2$ 또는 $x = 2$ 함수 $g \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 $g \left( x \right)$는 $x = \mathit{-} 2$에서 극댓값 $g \left( - 2 \right) = 16$, $x = 2$에서 극솟값 $g \left( 2 \right) = \mathit{-} 16$을 가지므로 그래프는 다음과 같다.

$f \left( x \right) \leq 9 x + 9$를 만족하는 $x$의 범위가 $x \leq a$이므로 위의 그림에서 $9 - c \geq 16$을 만족해야 하고 $g \left( x \right) = 16$에서 $x ^{3} - 12 x = 16$, $\left( x + 2 \right) ^{2} \left( x - 4 \right) = 0$ 이므로 $a \geq 4$이다. 따라서 양수 $a$의 최솟값은 $4$이다.

[다른 풀이] 삼차함수 $f ( x )$는 최고차항의 계수가 $1$이고, $x = 1$과 $x = - 1$에서 극값을 가지므로 $f' ( x ) = 3 \left( x + 1 \right) \left( x - 1 \right) = 3 x ^{2} - 3$ $\therefore$$f ( x )$$\displaystyle = \int {f' ( x ) dx = \int {( 3 x ^{2} - 3 ) dx}}$ $= x ^{3} - 3 x + C$ $\left\{ x | f ( x ) \leq 9 x + 9 \right\} = ( - \infty , a ]$를 만족하므로 $x ^{3} - 3 x + C \leq 9 x + 9$ 즉, $x ^{3} - 12 x + C - 9 \leq 0$을 만족하는 범위는 $x \leq a$ ($a > 0$)이므로 그래프를 그리면 다음과 같다.

극대가 되는 $x = - 2$에서 (극댓값)$\leq 0$을 만족해야 하므로 $- 8 + 24 + C - 9 \leq 0$, $C \leq - 7$ $\cdots \cdots$ ㉠ 그런데 $x = a$가 $y = f ( x )$의 근이므로 $a ^{3} - 12 a + C - 9 = 0$ $C = - a ^{3} + 12 a + 9$ ㉠에 대입하면 $- a ^{3} + 12 a + 9 \leq - 7$ 따라서 $a ^{3} - 12 a - 16 \geq 0$ 인수정리를 이용하면 $( a - 4 ) ( a + 2 ) ^{2} \geq 0$이므로 $a - 4 \geq 0$ 따라서 양수 $a$의 최솟값은 $4$이다.