공통수학1복소수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

z^n=1 집합 조건

문제

자연수 $n$ 에 대하여 집합 $A _{n}$ 을 $A _{n} = \left\{ z | \right.$ $\left. z ^{n} = 1 \right.$ , $z$ 는 복소수 $\}$ 라 정의하자. $A _{n}$ 이 다음 두 조건을 만족할 때, $n$ 의 최솟값은? (단, $\displaystyle i = \sqrt{- 1}$ ) [4점]


	(가) $\displaystyle \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} \in A _{n}$ (나) $z \in A _{n}$ 이면 $- z \in A _{n}$ 이다.

① $3$ ② $4$ ③ $5$ ④ $6$ ⑤ $7$

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④

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해설

[출제의도] 복소수의 거듭제곱의 성질을 이용하여 수학내적문제 해결하기 (가)에서 $\displaystyle \left( \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} \right) ^{3} = 1$ 이므로 자연수 $k$ 에 대하여 $n = 3 k$ (나)에서 $\displaystyle \left( - \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} \right) ^{3 k} = ( - 1 ) ^{3 k} \left( \frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2} \right) ^{3 k}$ $= ( - 1 ) ^{3 k} \times 1 = 1$ 이므로 자연수 $l$ 에 대하여 $k = 2 l$ 그러므로 $n = 6 l$ $\therefore$ $n$ 의 최솟값은 $6$

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