유리함수의 연속 조건과 h(0)의 값

함수 $\displaystyle h ( x ) = {\begin{cases} \frac{f ( x )}{g ( x )} & & ( x \ne 2 ) \\ 3 & & ( x = 2 ) \end{cases}}$이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} h ( x ) = 3$이므로 두 삼차함수 $f ( x )$, $g \left( x \right)$의 최고차항의 계수의 비는 $3 : 1$이다. 함수 $h \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $x \ne 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) \ne 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 삼차함수 $y = g \left( x \right)$의 그래프는 $x$축과 적어도 한 점에서 만나므로 ㉠에 의하여 $g \left( 2 \right) = 0$ 함수 $h \left( x \right)$는 $x = 2$에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} h \left( x \right) = h \left( 2 \right)$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 3$ $x \rightarrow 2$일 때 (분모)$\rightarrow 0$이고 극한값이 존재하므로 (분자)$\rightarrow 0$이다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} f \left( x \right) = 0$ $\therefore$ $f \left( 2 \right) = 0$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{1}{h ( x )} = \infty$, 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{g \left( x \right)}{f ( x )} = \infty$이므로 $f ( x )$는 $x - 1$을 인수로 갖는다. 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} {} \frac{1}{\left( x - 1 \right) ^{2 n - 1}} = - \infty$, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} {} \frac{1}{\left( x - 1 \right) ^{2 n - 1}} = \infty$ 이고, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{1}{\left( x - 1 \right) ^{2 n}} = \infty$ 이므로 $f ( x )$는 $\left( x - 1 \right) ^{2}$을 인수로 갖는다. $h \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \frac{3 \left( x - 1 \right) ^{2} \left( x - 2 \right)}{\left( x - 2 \right) \left( x ^{2} + ax + b \right)} & & ( x \ne 2 ) \\ 3 & & ( x = 2 ) \end{cases}}$ $\displaystyle = {\begin{cases} \frac{3 \left( x - 1 \right) ^{2}}{x ^{2} + ax + b} & & ( x \ne 2 ) \\ 3 & & ( x = 2 ) \end{cases}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{f \left( x \right)}{g \left( x \right)} = 3$, 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} h \left( x \right) = 3$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} h \left( x \right)$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{3 \left( x - 1 \right) ^{2}}{x ^{2} + ax + b}$$\displaystyle = \frac{3}{2 a + b + 4}$ $\displaystyle \frac{3}{2 a + b + 4} = 3$이므로 $2 a + b + 4 = 1$, $b = - 2 a - 3$ $h \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \frac{3 \left( x - 1 \right) ^{2}}{x ^{2} + ax - 2 a - 3} & & ( x \ne 2 ) \\ 3 & & ( x = 2 ) \end{cases}}$ 방정식 $h ( x ) = 12$는 오직 한 실근을 갖는다. $h \left( 2 \right) = 3$이므로 방정식의 한 실근은 $2$가 아니다. $h ( x ) = 12$에서 $\displaystyle \frac{3 \left( x - 1 \right) ^{2}}{x ^{2} + ax - 2 a - 3} = 12$ $3 x ^{2} + 2 \left( 2 a + 1 \right) x - 8 a - 13 = 0$ 방정식 $3 x ^{2} + 2 \left( 2 a + 1 \right) x - 8 a - 13 = 0$은 $x \ne 2$인 오직 한 실근을 가지므로 중근을 갖는다. 판별식을 $D _{1}$이라 하면 $\displaystyle \frac{D _{1}}{4} = \left( 2 a + 1 \right) ^{2} + 3 \left( 8 a + 13 \right) = 0$ $a = - 5$ 또는 $a = - 2$ ㉠에 의하여 $x \ne 2$인 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} + ax + b \ne 0$, 즉 $x ^{2} + ax - 2 a - 3 \ne 0$ 이므로 방정식 $x ^{2} + ax - 2 a - 3 = 0$의 판별식을 $D _{2}$라 하면 $D _{2} = a ^{2} - 4 \left( - 2 a - 3 \right) < 0$, $- 6 < a < - 2$ $\therefore$ $a = - 5$ 따라서 함수 $h \left( x \right)$는 $h \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} \frac{3 \left( x - 1 \right) ^{2}}{x ^{2} - 5 x + 7} & & ( x \ne 2 ) \\ 3 & & ( x = 2 ) \end{cases}}$ 이므로 $\displaystyle h \left( 0 \right) = \frac{3}{7}$이다.