미적분Ⅰ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

여섯 포물선 둘러싼 넓이

문제

그림과 같이 중심이 O\mathrm{O}이고 반지름의 길이가 22인 원의 둘레를 66등분하는 점을 각각 A,B,C,D,E,F\mathrm{A} , B , C , D , E , F라 하자. 두 점 A,B\mathrm{A} , B에서 두 직선 OA,OB\mathrm{O} A , OB에 접하는 포물선 C1C _{1}을 그리고, 두 점 B,C\mathrm{B} , C에서 두 직선 OB,OC\mathrm{O} B , OC에 접하는 포물선 C2C _{2}를 그린다.

이와 같은 방법으로 포물선 C3,C4,C5,C6C _{3} , C _{4} , C _{5} , C _{6}을 그릴 때, 66개의 포물선으로 둘러싸인 부분의 넓이는? [4점] ①23\displaystyle 2 \sqrt{3}②532\displaystyle \frac{5 \sqrt{3}}{2}③33\displaystyle 3 \sqrt{3}④732\displaystyle \frac{7 \sqrt{3}}{2}⑤43\displaystyle 4 \sqrt{3}

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

포물선 C1C _{1}의 방정식을 y=ax2+by = ax ^{2} + b로 놓으면 곡선 y=ax2+by = ax ^{2} + b가 점 (1,3)\displaystyle ( 1 , \sqrt{3} )을 지나고 이 점에서 접선의 기울기가 3\displaystyle \sqrt{3}이므로 3=a+b\displaystyle \sqrt{3} = a + b이고 3=2a\displaystyle \sqrt{3} = 2 a이다. 따라서 a=b=32\displaystyle a = b = \frac{\sqrt{3}}{2}이므로 y=32x2+32\displaystyle y = \frac{\sqrt{3}}{2} x ^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} ∴ S=12∫01(32x2+32−3x)dx\displaystyle S = 12 \int _{0} ^{1} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} x ^{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} x \right) dx==23\displaystyle 2 \sqrt{3}

태그

#넓이#포물선#접선

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅰ 문제 모음미적분Ⅰ 정적분의 활용 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로