연속이고 증가하는 함수의 최솟값

함수 $f ( x )$가 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이므로 $f ( x ) = x ^{2} + ax + b$ 라 하면 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} - x ^{2} + 2 x + 2 & \left( x < 1 \right) \\ x ^{2} + ax + b & \left( x \geq 1 \right) \end{cases}}$에서 함수 $g ( x )$가 $x = 1$에서 연속이므로 $\displaystyle f ( 1 ) = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {( - x ^{2} + 2 x + 2 )} = 3$ $1 + a + b = 3$, $b = 2 - a$ 따라서 $f ( x ) = x ^{2} + ax + ( 2 - a )$ 또한, 함수 $g ( x )$가 실수 전체에서 증가해야 하므로 $\displaystyle g' ( x ) = \begin{cases} - 2 x + 2 & ( x < 1 ) \\ 2 x + a & ( x > 1 ) \end{cases}$ 에서 $x > 1$에서 $2 x + a \geq 0$을 만족해야 한다. 따라서 $x = 1$을 대입했을 때, $2 + a \geq 0$에서 $a \geq - 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ $f ( 3 ) = 9 + 3 a + ( 2 - a )$$= 2 a + 11$이므로 ㉠에서 $2 a + 11 \geq - 4 + 11 = 7$ $\therefore$$f ( 3 ) \geq 7$ 따라서 $f \left( 3 \right)$의 최솟값은 $7$이다. [다른 풀이] 함수 $f ( x )$가 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수이므로 $f ( x ) = x ^{2} + ax + b$ 라 하면 $\displaystyle g ( x ) = {\begin{cases} - x ^{2} + 2 x + 2 & \left( x < 1 \right) \\ x ^{2} + ax + b & \left( x \geq 1 \right) \end{cases}}$ (ⅰ) $x = 1$에서 연속 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1 -} g \left( x \right) = \lim\limits _{x \rightarrow 1 +} g \left( x \right) = g \left( 1 \right)$이어야 하므로 $3 = 1 + a + b$, $b = 2 - a$ (ⅱ) 실수 전체의 집합에서 증가 함수 $f \left( x \right)$의 대칭축에서 $\displaystyle - \frac{a}{2} \leq 1$, $a \geq - 2$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $f \left( 3 \right) = 9 + 3 a + b = 9 + 3 a + \left( 2 - a \right) = 2 a + 11 \geq 7$ 따라서 $f \left( 3 \right)$의 최솟값은 $7$이다.