연속한 네 자연수의 곱에 1을 더한 수의 증명

다음은 자연수 $n$에 대하여 $n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) + 1$이 어떤 자연수의 제곱임을 보이는 과정이다.

$n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) + 1$ $= \left\{ n ( n + 3 ) \right\} \left\{ ( n + 1 ) ( n + 2 ) \right\} + 1$ $= ( n ^{2} + 3 n ) ($ (가) $) + 1$ $n ^{2} + 3 n = X$라 하면 $X ( X + 2 ) + 1 = X ^{2} + 2 X + 1 = ( X + 1 ) ^{2}$ 따라서 $n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) + 1 = ($ (나) $) ^{2}$

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( n )$, $g ( n )$이라 할 때, $f ( 1 ) + g ( 3 )$의 값을 구하시오. [4점]