연속함수 조건

[출제의도] 함수의 그래프의 개형을 이용하여 $a$, $b$에 대한 관계식을 구한 후, 상수 $a$, $b$의 값을 구할 수 있는가 조건 (가)에서 양변에 $x = 0$을 대입하면 $\left\{ f \left( 0 \right) \right\} ^{2} + 2 f \left( 0 \right)$$= a + b$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (가)에서 양변에 $x = 2$를 대입하면 $\left\{ f \left( 2 \right) \right\} ^{2} + 2 f \left( 2 \right) = a + b$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\left\{ f \left( 0 \right) \right\} ^{2} + 2 f \left( 0 \right) = \left\{ f \left( 2 \right) \right\} ^{2} + 2 f \left( 2 \right)$ $\left\{ f \left( 2 \right) - f \left( 0 \right) \right\} \left\{ f \left( 2 \right) + f \left( 0 \right) + 2 \right\} = 0$ $f \left( 2 \right) = f \left( 0 \right)$ 또는 $f \left( 2 \right) + f \left( 0 \right) + 2 = 0$ $f \left( 2 \right) = f \left( 0 \right)$이면 조건 (나)를 만족시키지 못하므로 $f \left( 2 \right) + f \left( 0 \right) + 2 = 0$ $\cdots \cdots$ ㉢ 조건 (나)에서 $f \left( 0 \right) = f \left( 2 \right) + 1$을 ㉢에 대입하면 $2 f \left( 2 \right) + 3 = 0$ $\displaystyle f \left( 2 \right) = \mathit{-} \frac{3}{2}$ 조건 (나)에서 $\displaystyle f \left( 0 \right) = f \left( 2 \right) + 1 = \mathit{-} \frac{3}{2} + 1 = \mathit{-} \frac{1}{2}$ $\displaystyle f \left( 0 \right) = \mathit{-} \frac{1}{2}$을 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \left( - \frac{1}{2} \right) ^{2} + 2 \times \left( - \frac{1}{2} \right) = a + b$ $\displaystyle a + b = \mathit{-} \frac{3}{4}$ $\cdots \cdots$ ㉣ 한편, 조건 (가)에서 양변에 $1$을 더하면 $\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} + 2 f \left( x \right) + 1$$= a \cos ^{3} \pi {x} {\times} e ^{\sin ^{2} \pi {x}} + b + 1$ $\left\{ f \left( x \right) + 1 \right\} \mathit{^{2}}$$= a \cos ^{3} \pi {x} {\times} e ^{\sin ^{2} {\pi} x} + b + 1$ $g \left( x \right) = a \cos ^{3} \pi {x} {\times} e ^{\sin ^{2} \pi {x}} + b + 1$이라 하면 $\left\{ f \left( x \right) + 1 \right\} \mathit{^{2}} = g \left( x \right)$ $\cdots \cdots$ ㉤ 에서 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) {\geq} 0$ 이고, $\displaystyle f \left( x \right) = \mathit{-} 1 \pm \sqrt{g \left( x \right)}$ 이다. $\displaystyle f \left( 0 \right) = \mathit{-} \frac{1}{2} > {- 1}$, $\displaystyle f \left( 2 \right) = \mathit{-} \frac{3}{2} < {- 1}$ 이고 함수 $f \left( x \right)$가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $f \left( c \right) = \mathit{-} 1$인 상수 $c$가 열린구간 $\left( 0 , 2 \right)$에 적어도 하나 존재한다. $\displaystyle f \left( c \right) = \mathit{-} 1 {plus \min us} \sqrt{g \left( c \right)} = \mathit{-} 1$에서 $g \left( c \right) = 0$ 함수 $g \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 미분 가능하고 모든 실수 $x$에 대하여 $g \left( x \right) {\geq} 0$이므로 함수 $g \left( x \right)$는 $x = c$$\left( 0 < c < 2 \right)$에서 극소이다. 한편, $g' \left( x \right)$$= 3 a \cos ^{2} \pi {x} {\times} \left( - \pi \sin \pi {x} \right) {\times} e ^{\sin ^{2} \pi {x}}$ $+ a \cos ^{3} \pi {x} {\times} e ^{\sin ^{2} \pi {x}} {\times} 2 \sin \pi {x} {\times} \pi \cos \pi {x}$ $= a {\pi} \cos ^{2} \pi {x} {\times} \sin \pi {x} {\times} e ^{\sin ^{2} \pi {x}} {\times} \left( - 3 + 2 \cos ^{2} \pi {x} \right)$ 열린구간 $\left( 0 , 2 \right)$에서 $\cos ^{2} \pi {x} {\geq} 0$, $e ^{\sin ^{2} \pi {x}} > 0$, $- 3 + 2 \cos ^{2} \pi {x} < 0$ 이고, $\sin \pi {x} = 0$에서 $x = 1$ 이때 $a > 0$이므로 열린구간 $\left( 0 , 2 \right)$에서 함수 $g \left( x \right)$는 $x = 1$에서만 극소이다. 따라서 $c = 1$이므로 $g \left( 1 \right) = 0$이다. ㉤의 양변에 $x = 1$을 대입하면 $\left\{ f \left( 1 \right) + 1 \right\} \mathit{^{2}} = g \left( 1 \right)$에서 $\left\{ f \left( 1 \right) + 1 \right\} \mathit{^{2}} = 0$ $f \left( 1 \right) = \mathit{-} 1$ 조건 (가)에서 양변에 $x = 1$을 대입하면 $\left\{ f \left( 1 \right) \right\} ^{2} + 2 f \left( 1 \right)$$= \mathit{-} a + b$ $- a + b = \mathit{-} 1$ $\cdots \cdots$ ㉥ ㉣, ㉥을 연립하면 $\displaystyle a = \frac{1}{8}$, $\displaystyle b = \mathit{-} \frac{7}{8}$ 따라서 $a {\times} b$$\displaystyle = \frac{1}{8} {\times} \left( - \frac{7}{8} \right)$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{7}{64}$