연속 조건과 적분 함수

[출제의도] 정적분으로 정의된 함수가 포함된 문제를 해결한다. 최고차항의 계수가 $4$이고 $f ( 0 ) = 0$이므로 $f ( x ) = 4 x ^{3} + ax ^{2} + bx$ ($a$, $b$는 상수)라 하면 $f' ( x ) = 12 x ^{2} + 2 ax + b$ 에서 $f' ( 0 ) = 0$이므로 $b = 0$ 즉, $f ( x ) = 4 x ^{3} + ax ^{2}$에서 $\displaystyle \int _{0} ^{x} {} f ( t ) dt = x ^{4} + \frac{a}{3} x ^{3}$ 이므로 $g ( x ) =$ $\displaystyle \begin{cases} x ^{4} + \frac{a}{3} x ^{3} + 5 & ( x < c ) \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} \\ \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} \left| x ^{4} + \frac{a}{3} x ^{3} - \frac{13}{3} \right| & ( x \geq c ) \end{cases}$ 곡선 $\displaystyle y = x ^{4} + \frac{a}{3} x ^{3} - \frac{13}{3}$은 곡선 $\displaystyle y = x ^{4} + \frac{a}{3} x ^{3} + 5$ 를 $y$축의 방향으로 $\displaystyle - \frac{28}{3}$만큼 평행이동한 것이다. 다음은 $a$의 값에 따른 곡선 $\displaystyle y = x ^{4} + \frac{a}{3} x ^{3} + 5$ 와 곡선 $\displaystyle y = \left| x ^{4} + \frac{a}{3} x ^{3} - \frac{13}{3} \right|$의 개형 중 $c$의 개수가 $0$, $1$, $2$ 인 경우이다.

[$c$의 개수가 $0$] [$c$의 개수가 $1$] [$c$의 개수가 $2$] 함수 $g ( x )$가 연속이 되도록 하는 실수 $c$의 개수가 $1$이기 위해서는 함수 $\displaystyle y = x ^{4} + \frac{a}{3} x ^{3} + 5$ ($\rightarrow$ ㉠)의 극솟값과 함수 $\displaystyle y = \mathit{-} \left( x ^{4} + \frac{a}{3} x ^{3} - \frac{13}{3} \right)$ ($\rightarrow$ ㉡)의 극댓값이 서로 같아야 한다. ㉠, ㉡의 함수의 도함수는 각각 $f ( x )$, $- f ( x )$이고 $f ( x )$$= x ^{2} ( 4 x + a )$$= 0$에서 $x = 0$ 또는 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{a}{4}$ $( a \neq 0 )$ ㉠, ㉡의 함수는 각각 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{a}{4}$에서 극값을 갖고, $\displaystyle c = \mathit{-} \frac{a}{4}$이다. $\displaystyle \left( - \frac{a}{4} \right) ^{4} + \frac{a}{3} \left( - \frac{a}{4} \right) ^{3} + 5$$\displaystyle = \mathit{-} \left\{ \left( - \frac{a}{4} \right) ^{4} + \frac{a}{3} \left( - \frac{a}{4} \right) ^{3} - \frac{13}{3} \right\}$ 이를 정리하여 풀면 $\displaystyle \begin{cases} a = 4 \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} \\ \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} c = \mathit{-} 1 \end{cases}$ 또는 $\displaystyle \begin{cases} a = \mathit{-} 4 \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} \\ \mathit{^{\mathit{^{}}}} \mathit{_{\mathit{_{}}}} c = 1 \end{cases}$ 그러므로 $a = 4$일 때, $g ( 1 )$$\displaystyle = \left| 1 + \frac{4}{3} - \frac{13}{3} \right|$$= 2$, $a = \mathit{-} 4$일 때, $g ( 1 )$$\displaystyle = \left| 1 - \frac{4}{3} - \frac{13}{3} \right|$$\displaystyle = \frac{14}{3}$ 따라서 $g ( 1 )$의 최댓값은 $\displaystyle \frac{14}{3}$