연립 점화식 일반항

두 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$, $\left\{ b _{n} \right\}$은 $a _{1} = 3$, $b _{1} = 2$, $a _{n+1} = 4 a _{n} + b _{n}$ , $b _{n+1} = a _{n} + 4 b _{n}$을 만족한다. 다음은 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항을 구하는 과정이다. (단, $n \geq 1$) $a _{1} = 3$, $b _{1} = 2$ $\displaystyle \begin{cases} a _{n+1} = 4 a _{n} + b _{n} \cdots \cdots \text{㉠} \\ \\ b _{n+1} = a _{n} + 4 b _{n} \cdots \cdots \text{㉡} \end{cases}$ $\text{㉠} + \text{㉡}$을 하면 $a _{n+1} + b _{n+1} = 5 ( a _{n} + b _{n} )$이므로 $a _{n} + b _{n} = {\square {( \text{가} )}}$ $\cdots \cdots \text{㉢}$ $\text{㉠} - \text{㉡}$을 하면 $a _{n+1} - b _{n+1} = 3 ( a _{n} - b _{n} )$이므로 $a _{n} - b _{n} = {\square {( \text{나} )}}$ $\cdots \cdots \text{㉣}$ 여기서, $\text{㉢} + \text{㉣}$을 하여 정리하면 $a _{n} = {\square {( \text{다} )}}$ 이다.

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 바르게 짝지은 것은? [4점] (가) (나) (다) ①$5 ^{n-1}$ $3 ^{n}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( 5 ^{n-1} + 3 ^{n-1} \right)$②$5 ^{n-1}$ $3 ^{n}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( 5 ^{n} + 3 ^{n-1} \right)$③$5 ^{n}$ $3 ^{n}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( 5 ^{n} + 3 ^{n} \right)$④$5 ^{n}$ $3 ^{n-1}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( 5 ^{n-1} + 3 ^{n-1} \right)$⑤$5 ^{n}$ $3 ^{n-1}$ $\displaystyle \frac{1}{2} \left( 5 ^{n} + 3 ^{n-1} \right)$