역수의 합의 로그의 최솟값

$\log _{2} ( x + y ) = 3$에서 $x + y = 8$ $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{xy} = \frac{8}{xy}$ $x > 0$, $y > 0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에서 $\displaystyle 8 = x + y \geq 2 \sqrt{xy}$, 즉 $xy \leq 16$ (등호는 $x = y = 4$일 때 성립) $\displaystyle \frac{8}{xy} \geq \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ 밑 $2$가 $1$보다 크므로 $\displaystyle \log _{2} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) \geq \log _{2} \frac{1}{2} = - 1$ 따라서 최솟값은 $- 1$이다. ③