양의 두 근 사이에 3이 있을 조건

두 근을 $\alpha , \beta$라 하면 근과 계수의 관계에서 $\alpha + \beta = 2 k$, $\alpha \beta = k ^{2} - 4 k$ (ⅰ) 서로 다른 두 실근을 가지므로 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = k ^{2} - ( k ^{2} - 4 k ) = 4 k > 0$에서 $k > 0$ (ⅱ) 두 근이 모두 양수이므로 $\alpha + \beta = 2 k > 0$, $\alpha \beta = k ( k - 4 ) > 0$에서 $k > 4$ (ⅲ) 한 근은 $3$보다 크고 다른 한 근은 $3$보다 작으므로 $( \alpha - 3 ) ( \beta - 3 ) < 0$ $\alpha \beta - 3 ( \alpha + \beta ) + 9 < 0$ $k ^{2} - 4 k - 6 k + 9 < 0$ $( k - 1 ) ( k - 9 ) < 0$에서 $1 < k < 9$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 $4 < k < 9$이므로 정수 $k$는 $5 , 6 , 7 , 8$ 따라서 모든 정수 $k$의 값의 합은 $5 + 6 + 7 + 8 = 26$이다.