미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원의 접선과 현의 길이로 만든 무한급수

문제

자연수 nn에 대하여 원 x2+y2=(14)n−1\displaystyle x ^{2} + y ^{2} = \left( \frac{1}{4} \right) ^{n - 1}을 CnC _{n}이라 하자. 원 Cn+1C _{n + 1}의 한 접선에서 원 CnC _{n}의 현에 해당되는 선분의 길이를 dnd _{n}이라고 할 때, ∑n=1∞dn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} d _{n}의 값은?

①22②22\displaystyle 2 \sqrt{2}③23\displaystyle 2 \sqrt{3}④44⑤26\displaystyle 2 \sqrt{6}

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③

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해설

그림에서 △OAB\mathrm{\triangle} OAB는 직각삼각형이므로 {(12)n−1}2={(12)n}2+{dn2}2\displaystyle \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n-1} \right\} ^{2} = \left\{ \left( \frac{1}{2} \right) ^{n} \right\} ^{2} + \left\{ \frac{d _{n}}{2} \right\} ^{2} ∴dn=23⋅4−n\displaystyle \therefore d _{n} = 2 \sqrt{3 \cdot 4 ^{-n}} 그러므로 dn+1dn=23⋅4−n−123⋅4−n=12\displaystyle \frac{d _{n+1}}{d _{n}} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 4 ^{-n-1}}}{2 \sqrt{3 \cdot 4 ^{-n}}} = \frac{1}{2} 따라서, 수열 {dn}\left\{ d _{n} \right\}은 초항이 3\displaystyle \sqrt{3}, 공비가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 등비수열이다. ∴∑n=1∞dn=31−12=23\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} d _{n} = \frac{\sqrt{3}}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \sqrt{3}

태그

#등비수열#무한급수#원의 방정식

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