원과 포물선 사이 넓이

[출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

$\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}$ $\displaystyle y = - x + \frac{3}{2}$

두 곡선의 교점의 좌표를 각각 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \alpha , \frac{1}{2} \alpha ^{2} \right) , \mathrm{Q} \left( - \alpha , \frac{1}{2} \alpha ^{2} \right)$이라 하자. $( \alpha > 0 )$ 함수 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x ^{2}$ 의 그래프의 접점 $\mathrm{P}$에서 접선의 기울기는 $\alpha$이고 이 접선은 직선 $\mathrm{AP}$와 수직이다. 즉, $\displaystyle \frac{\frac{1}{2} \alpha ^{2} - \frac{3}{2}}{\alpha - 0} = - \frac{1}{\alpha}$ $\alpha ^{2} = 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( 1 , \frac{1}{2} \right) , Q \left( - 1 , \frac{1}{2} \right)$ 직선 $\mathrm{AP}$는 $\displaystyle y = - x + \frac{3}{2}$ $\angle \mathrm{PAQ} = 90 ^\circ$, 원의 반지름은 $\displaystyle \sqrt{2}$ 구하는 넓이를 $S$ 라 하면 $\displaystyle \begin{aligned} S = 2 \left\{ \int _{0} ^{1} {\left( - x + \frac{3}{2} - \frac{1}{2} x ^{2} \right)} dx - \frac{\pi}{4} \right\} \\ = 2 \left\{ \left[ - \frac{1}{6} x ^{3} - \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{3}{2} x \right] _{0} ^{1} - \frac{\pi}{4} \right\} \\ = \frac{5}{3} - \frac{\pi}{2} \end{aligned}$ $\displaystyle a = \frac{5}{3} , b = - \frac{1}{2}$이므로 $120 ( a + b ) = 140$