원과 포물선 넓이 변화

세 점 $\mathrm{O} ( 0 , 0 )$, $\mathrm{A} ( \mathit{t} , 0 )$, $\mathrm{B} ( \mathit{t} , t ^{2} )$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm{O} AB$는 직각삼각형이므로 원 $C$의 반지름의 길이 $r$는 $\displaystyle r = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{O} B}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \sqrt{t ^{2} + t ^{4}}$ $y = x ^{2}$ $S _{1} ( t )$ $S _{2} ( t )$

위의 그림에서 $S _{2} ( t )$의 넓이는 $S _{2} ( t ) =$ (반원의 넓이)$-$(직각삼각형 $\mathrm{O} AB$의 넓이) $\displaystyle = \frac{1}{2} \pi \left( \frac{1}{2} \sqrt{t ^{2} + t ^{4}} \right) ^{2} - \frac{1}{2} \times t \times t ^{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{8} ( t ^{2} + t ^{4} ) \pi - \frac{1}{2} t ^{3}$ 위의 그림에서 $S _{1} ( t )$의 넓이는 $\displaystyle S _{1} ( t ) = \int _{0} ^{t} x ^{2} dx$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x ^{3} \right] _{0} ^{t}$$\displaystyle = \frac{1}{3} t ^{3}$ 따라서 구하는 넓이 $S ( t )$는 $S ( t ) = S _{1} ( t ) + S _{2} ( t )$ $\displaystyle = \frac{1}{8} ( t ^{2} + t ^{4} ) \pi - \frac{1}{2} t ^{3} + \frac{1}{3} t ^{3}$ $\displaystyle = \frac{1}{8} ( t ^{2} + t ^{4} ) \pi - \frac{1}{6} t ^{3}$ $\displaystyle S' ( t ) = \frac{1}{8} ( 2 t + 4 t ^{3} ) \pi - \frac{1}{2} t ^{2}$ ∴ $\displaystyle S' ( 1 ) = \frac{1}{8} ( 2 + 4 ) \pi - \frac{1}{2}$$\displaystyle = \frac{3 \pi - 2}{4}$ ∴ $p = 3 , q = - 2$ ∴ $p ^{2} + q ^{2} = 9 + 4 = 13$