기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원과 접선 내적 최대

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 55인 원 CC와 원 CC 위의 점 A\mathrm{A}에서의 접선 ll이 있다. 원 CC 위의 점 P\mathrm{P}와 AB‾=24\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 24를 만족시키는 직선 ll 위의 점 B\mathrm{B}에 대하여 PA⃗⋅PB⃗{\vec{\mathrm{PA}}} \cdot {\vec{\mathrm{PB}}}의 최댓값을 구하시오. [4점]

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180

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해설

PA⃗⋅PB⃗{\vec{\mathrm{PA}}} \cdot {\vec{\mathrm{PB}}}=(OA⃗−OP⃗)⋅(OB⃗−OP⃗)= ( \vec{OA} - \vec{OP} ) \cdot ( \vec{OB} - \vec{OP} ) =OA⃗∙OB⃗+OP⃗2−(OA⃗+OB⃗)∙OP⃗= \vec{OA} \bullet \vec{OB} + \vec{OP} ^{2} - ( \vec{OA} + \vec{OB} ) \bullet \vec{OP} 여기서, OA⃗∙OB⃗=25\vec{OA} \bullet \vec{OB} = 25 , OP⃗2=25\vec{OP} ^{2} = 25 이고 AB의 중점을 Q라 하면 OA⃗+OB⃗=2OQ⃗\vec{OA} + \vec{OB} = 2 \vec{OQ}이고 OP⃗\vec{OP}와 OQ⃗\vec{OQ}가 반대방향일 때, PA⃗⋅PB⃗{\vec{\mathrm{PA}}} \cdot {\vec{\mathrm{PB}}}는 최댓값을 가진다 ∴\thereforePA⃗⋅PB⃗{\vec{\mathrm{PA}}} \cdot {\vec{\mathrm{PB}}}≤25+25−2(−5×13)=180\leq 25 + 25 - 2 ( - 5 \times 13 ) = 180

태그

#내적#최댓값#원

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