원 위의 점과 로그의 최댓값

점 $\left( a , b \right)$가 원 $x ^{2} + y ^{2} = r ^{2}$ 위의 점이므로 $a ^{2} + b ^{2} = r ^{2}$ $ab \neq 0$이므로 $a ^{2} > 0$, $b ^{2} > 0$ 산술-기하평균에 의해서 $\displaystyle \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2} \geq \sqrt{a ^{2} b ^{2}} = \left| ab \right|$ 따라서 $\displaystyle \frac{r ^{2}}{2} \geq \left| ab \right|$ 양변에 밑이 $r$ ($r > 1$)인 로그를 취하면 $\displaystyle \log _{r} \frac{r ^{2}}{2} \geq \log _{r} \left| ab \right|$ $2 - \log _{r} 2 \geq \log _{r} \left| ab \right|$ 따라서 최대가 되는 경우는 $2 - \log _{r} 2$일 때이므로 $f ( r ) = 2 - \log _{r} 2$ $\displaystyle \therefore f ( 64 ) = 2 - \frac{1}{6} = \frac{11}{6}$