공통수학2직선의 방정식AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 위의 점으로 만든 삼각형의 최대 넓이

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 A(0,8)\mathrm{A} \mathit{(} 0 , 8 ), B(8,0)\mathrm{B} \mathit{(} 8 , 0 )과 원 x2+y2=2x ^{2} + y ^{2} = 2가 있다. 점 P\mathrm{P}가 이 원 위를 움직일 때, 삼각형 PAB\mathrm{PAB}의 넓이의 최댓값을 구하시오. [4점]

정답 보기
40

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

직선 AB\mathrm{AB}의 방정식은 x+y−8=0x + y - 8 = 0이고 AB‾=82+82=82\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{8 ^{2} + 8 ^{2}} = 8 \sqrt{2} 삼각형 PAB\mathrm{PAB}에서 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}가 밑변이므로 넓이가 최대이려면 점 P\mathrm{P}와 직선 AB\mathrm{AB} 사이의 거리가 최대이어야 한다. 원의 중심 O(0,0)\mathrm{O} \mathit{(} 0 , 0 )과 직선 x+y−8=0x + y - 8 = 0 사이의 거리는 ∣−8∣12+12=82=42\displaystyle \frac{| - 8 |}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2} 원의 반지름의 길이가 2\displaystyle \sqrt{2}이므로 점 P\mathrm{P}와 직선 AB\mathrm{AB} 사이의 거리의 최댓값은 42+2=52\displaystyle 4 \sqrt{2} + \sqrt{2} = 5 \sqrt{2} 따라서 삼각형 PAB\mathrm{PAB}의 넓이의 최댓값은 12×82×52=40\displaystyle \frac{1}{2} \times 8 \sqrt{2} \times 5 \sqrt{2} = 40

태그

#점과 직선 사이의 거리#삼각형의 넓이#원#최댓값

비슷한 문제 더 보기

공통수학2 문제 모음공통수학2 직선의 방정식 문제 모음내신 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로