원 위의 두 점과 내분점의 거리

점 $\mathrm{P}$의 좌표를 두 점의 좌표로 나타낸 뒤 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} ^{2}$을 전개하는 것이 실마리이다. $\mathrm{A} ( a , b )$, $\mathrm{B} ( c , d )$라 하면 두 점이 원 위에 있으므로 $a ^{2} + b ^{2} = 25$, $c ^{2} + d ^{2} = 25$ 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{2 a + c}{3} , \frac{2 b + d}{3} \right)}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{5}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} ^{2} = 5$이므로 $( 2 a + c ) ^{2} + ( 2 b + d ) ^{2} = 45$ 좌변을 전개하면 $4 ( a ^{2} + b ^{2} ) + ( c ^{2} + d ^{2} ) + 4 ( ac + bd ) = 45$ $100 + 25 + 4 ( ac + bd ) = 45$이므로 $ac + bd = - 20$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} ^{2} = ( a - c ) ^{2} + ( b - d ) ^{2} = ( a ^{2} + b ^{2} ) + ( c ^{2} + d ^{2} ) - 2 ( ac + bd )$ $= 25 + 25 + 40 = 90$