원 위 점 벡터 내적 최대

그림과 같이 점 $\mathrm{A}$를 원점으로 하는 좌표평면을 생각하자. 조건 (가)에 의해 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 ${\mathrm{C}} ( 3 , 4 )$가 된다. 두 점 $\mathrm{C} , D$에서 $x$에 내린 수선을 발을 각각 $\mathrm{C}' , D'$이라 하면 조건 (나)에 의해 선분 $\mathrm{C}' D'$의 길이는 $6$이 된다. 또한, $\left| \vec{\mathrm{CD}} \right| < 9$이므로 점 $\mathrm{D}$의 $y$좌표는 양수가 되어야 하므로 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 ${\mathrm{D}} ( 9 , 3 )$이 된다. 선분 $\mathrm{CD}$의 중점을 $\mathrm{M}$이라 하면 점 $\mathrm{P}$는 점 $\displaystyle \mathrm{M} \left( 6 , \frac{7}{2} \right)$을 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\displaystyle \frac{\sqrt{37}}{2}$인 원 위의 점이므로 점 $\mathrm{P}$좌표는 $\displaystyle {\mathrm{P}} \left( 6 + \frac{\sqrt{37}}{2} \cos \theta , \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2} \sin \theta \right)$와 같이 잡을 수 있다. ${\mathrm{A}} ( 0 , 0 ) , {\mathrm{B}} ( 5 , 0 )$이므로 ${\vec{\mathrm{PA}}} \cdot {\vec{\mathrm{PB}}}$ $= {\vec{\mathrm{AP}}} \cdot {\vec{\mathrm{BP}}}$ $\displaystyle = \left( 6 + \frac{\sqrt{37}}{2} \cos \theta , \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2} \sin \theta \right) \cdot \left( 1 + \frac{\sqrt{37}}{2} \cos \theta , \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2} \sin \theta \right)$ $\displaystyle = \left( 6 + \frac{\sqrt{37}}{2} \cos \theta \right) \left( 1 + \frac{\sqrt{37}}{2} \cos \theta \right) + \left( \frac{7}{2} + \frac{\sqrt{37}}{2} \sin \theta \right) ^{2}$ $\displaystyle = \frac{55}{2} + \frac{7 \sqrt{37}}{2} \left( \cos \theta + \sin \theta ) \right.$ $\displaystyle = \frac{55}{2} + \frac{7 \sqrt{74}}{2} \sin \left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$ $\displaystyle \leq \frac{55}{2} + \frac{7 \sqrt{74}}{2}$ 따라서 $\displaystyle a = \frac{55}{2} , b = \frac{7}{2}$이고 구하는 값은 $\displaystyle a + b = \frac{55}{2} + \frac{7}{2} = 31$이다.