원 위 벡터 내적 최대

점 $\mathrm{X}$에서 직선 $\mathrm{CD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\vec{\mathrm{CX}}$$= \vec{\mathrm{CH}} + \vec{\mathrm{HX}}$ $\vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{CX}}$$= \vec{\mathrm{AB}} \cdot \left( \vec{\mathrm{CH}} + \vec{\mathrm{HX}} \right)$ $= \vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{CH}}$ (∵ $\vec{\mathrm{AB}} \perp \vec{\mathrm{HX}}$) 점 $\mathrm{H}$는 다음 그림의 선분 $\mathrm{DE}$ 위에 존재한다.

ⅰ) 점 $\mathrm{H}$가 점 $\mathrm{C}$의 왼쪽에 위치하는 경우 $\vec{\mathrm{AB}}$와 $\vec{\mathrm{CH}}$의 방향은 서로 반대이다. 따라서 $\vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{CH}}$$\displaystyle = - \overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{CH}}$ ⅱ) 점 $\mathrm{H}$가 점 $\mathrm{C}$인 경우 $\vec{\mathrm{CH}} = \vec{0}$이므로 $\vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{CH}}$$= 0$ ⅲ) 점 $\mathrm{H}$가 점 $\mathrm{B}$의 오른쪽에 위치하는 경우 $\vec{\mathrm{AB}}$와 $\vec{\mathrm{CH}}$의 방향이 같으므로 $\vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{CH}}$$\displaystyle = \overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{CH}}$ ⅰ), ⅱ), ⅲ)에서 점 $\mathrm{H}$가 점 $\mathrm{E}$와 일치할 때, $\vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{CH}}$는 최댓값 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} \cdot \overline{\mathrm{CE}} = 4 \overline{\mathrm{CE}}$를 갖는다.

원의 중심을 $\mathrm{O}$, 반지름을 $r$이라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AO}} + \overline{OC}$$=$$\displaystyle ( \sqrt{2} + 1 ) r$ 사각형 $\mathrm{ABCD}$가 한 변의 길이가 $4$인 정사각형이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AC}} = 4 \sqrt{2}$이다. 따라서 $\displaystyle ( \sqrt{2} + 1 ) r$$\displaystyle = 4 \sqrt{2}$에서 $\displaystyle r = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}$$\displaystyle = 8 - 4 \sqrt{2}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}}$$= 2 r - 4$$\displaystyle = 12 - 8 \sqrt{2}$이다. 따라서 $\vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{CX}}$의 최댓값은 $\displaystyle 4 ( 12 - 8 \sqrt{2} ) = 48 - 32 \sqrt{2}$이다. ∴ $a = 48$, $q = 32$ ∴ $a + b = 80$