기하평면벡터수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 위 벡터 내적 최대

문제

평면 위에 반지름의 길이가 1313인 원 CC가 있다. 원 CC 위의 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}에 대하여 AB‾=24\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 24이고, 이 평면 위의 점 P\mathrm{P}가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) ∣AP⃗∣=5\left| {\vec{\mathrm{AP}}} \right| = 5 (나) AB⃗\vec{\mathrm{AB}}와 AP⃗\vec{\mathrm{AP}}가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 할 때, 5cos⁡θ5 \cos \theta는 자연수이다.

원 CC 위의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 AP⃗∙AQ⃗{\vec{\mathrm{AP}}} \bullet {\vec{\mathrm{AQ}}}의 최댓값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 평면벡터의 내적을 활용하여 문제해결하기

그림과 같이 좌표평면 위의 점 A\mathrm{A}를 A(0,0)\mathrm{A} \left( 0 , 0 \right), 점 B\mathrm{B}를 B(24,0)\mathrm{B} \left( 24 , 0 \right), 원 CC의 중심을 R(12,5)\mathrm{R} \left( 12 , 5 \right)라 하자. AP⃗∙AQ⃗\vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{AQ}}=AP⃗∙(AR⃗+RQ⃗)= \vec{\mathrm{AP}} \bullet \left( \vec{\mathrm{AR}} + \vec{\mathrm{RQ}} \right)=AP⃗∙AR⃗+AP⃗∙RQ⃗= \vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{AR}} + \vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{RQ}} ∣AP⃗∣=5\left| \mathrm{\vec{AP}} \right| = 5, ∣AR⃗∣=13\left| \mathrm{\vec{AR}} \right| = 13, ∣RQ⃗∣=13\left| \mathrm{\vec{RQ}} \right| = 13이다. AP⃗∙AR⃗\vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{AR}}가 최대인 경우를 구하면 (ⅰ) cos⁡θ=1\cos \theta = 1일 때, 점 P\mathrm{P}가 선분 AB\mathrm{AB}위에 있으므로 AP⃗∙AR⃗\vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{AR}}=∣AP⃗∣×∣AR⃗∣×cos⁡(∠PAR)= \left| \mathrm{\vec{AP}} \right| \times \left| \mathrm{\vec{AR}} \right| \times \cos \mathrm{\left( \angle PAR \right)}=5×13×1213=60\displaystyle = 5 \times 13 \times \frac{12}{13} = 60 (ⅱ) 0<cos⁡θ<10 < \cos \theta < 1일 때, ∠P1AB=∠P2AB=θ\mathrm{\angle} P _{1} AB = \angle P _{2} AB = \theta인 제11사분면 위의 점을 P1\mathrm{P} _{1}, 제44사분면 위의 점을 P2\mathrm{P} _{2}라 하자. ∠P1AR<∠P2AR\mathrm{\angle} P _{1} AR < \angle P _{2} AR이므로 AP1⃗∙AR⃗\vec{\mathrm{AP} _{1}} \bullet \vec{\mathrm{AR}}>AP2⃗∙AR⃗> \vec{\mathrm{AP} _{2}} \bullet \vec{\mathrm{AR}} 그러므로 제11사분면 위의 점 P\mathrm{P}만 고려하면 된다. ∠RAP=α\angle \mathrm{RAP} = \alpha, ∠RAB=β\angle \mathrm{RAB} = \beta라 하면 cos⁡β=1213\displaystyle \cos \beta = \frac{12}{13}이고, 5cos⁡θ5 \cos \theta가 자연수이므로 cos⁡β>cos⁡θ\cos \beta > \cos \theta 따라서 β<θ\beta < \theta이고 cos⁡θ\cos \theta의 값이 45\displaystyle \frac{4}{5}일 때, AP⃗∙AR⃗\vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{AR}}가 최댓값을 갖는다. α=θ−β\alpha = \theta - \beta이므로 cos⁡α\cos \alpha=cos⁡(θ−β)= \cos \left( \theta - \beta \right)=cos⁡θcos⁡β+sin⁡θsin⁡β= \cos \theta \cos \beta + \sin \theta \sin \beta=45×1213+35×513\displaystyle = \frac{4}{5} \times \frac{12}{13} + \frac{3}{5} \times \frac{5}{13}=6365\displaystyle = \frac{63}{65} AP⃗∙AR⃗\vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{AR}}=∣AP⃗∣×∣AR⃗∣×cos⁡α= \left| \mathrm{\vec{AP}} \right| \times \left| \mathrm{\vec{AR}} \right| \times \cos \mathrm{\alpha}=5×13×6365=63\displaystyle = 5 \times 13 \times \frac{63}{65} = 63 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 AP⃗∙AR⃗\vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{AR}}가 최대가 되는 AP⃗{\vec{\mathrm{AP}}}에 대하여 AP⃗\vec{\mathrm{AP}}와 RQ⃗\vec{\mathrm{RQ}}가 같은 방향일 때, AP⃗∙RQ⃗{\vec{\mathrm{AP}}} \bullet {\vec{\mathrm{RQ}}}의 값이 최대이므로 AP⃗∙RQ⃗{\vec{\mathrm{AP}}} \bullet {\vec{\mathrm{RQ}}}의 최댓값은 6565이다. 그러므로 AP⃗∙AQ⃗\vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{AQ}}=AP⃗∙AR⃗+AP⃗∙RQ⃗= \vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{AR}} + \vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{RQ}}≤63+65=128\leq 63 + 65 = 128 따라서 AP⃗∙AQ⃗\vec{\mathrm{AP}} \bullet \vec{\mathrm{AQ}}의 최댓값은 128128

태그

#내적#원#최댓값

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