기하평면벡터수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

원 위 벡터 내적 최대

문제

그림과 같이 지름 ABAB의 길이가 6인 원 위에 AC‾=2\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = 2가 되도록 점 CC를 잡는다. 이 원 위의 점 PP에 대하여 AC⃗∙BP⃗\mathrm{\vec{AC}} \bullet {\vec{BP}}의 최댓값은? [3점]

①2②4③6④8⑤10

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해설

[출제의도] 수학내적문제 해결능력-평면벡터 선분 ABAB가 지름이므로 ∠BCA=π2\displaystyle \angle BCA = \frac{\pi}{2} 원의 중심을 OO라 하면 AC⃗∙BP⃗=AC⃗∙(BO⃗+OP⃗){\vec{AC}} \bullet {\vec{BP}} = {\vec{AC}} \bullet \left( {\vec{BO}} + {\vec{OP}} \right) =AC⃗∙BO⃗+AC⃗∙OP⃗= {\vec{AC}} \bullet {\vec{BO}} + {\vec{AC}} \bullet {\vec{OP}} =∣AC⃗∣×∣BO⃗∣×cos⁡(π−∠CAB)+AC⃗∙OP⃗= \left| {\vec{AC}} \right| \times \left| {\vec{BO}} \right| \times \cos \left( \pi - \angle CAB \right) + {\vec{AC}} \bullet {\vec{OP}} =2×3×(−26)+AC⃗∙OP⃗\displaystyle = 2 \times 3 \times \left( - \frac{2}{6} \right) + {\vec{AC}} \bullet {\vec{OP}} =−2+AC⃗∙OP⃗= - 2 + {\vec{AC}} \bullet {\vec{OP}} 두 벡터 AC⃗{\vec{AC}}와 OP⃗{\vec{OP}}가 방향이 같을 때 AC⃗∙OP⃗{\vec{AC}} \bullet {\vec{OP}}의 값이 최대이므로 AC⃗∙BP⃗{\vec{AC}} \bullet {\vec{BP}}의 최댓값은 −2+2×3=4- 2 + 2 \times 3 = 4

태그

#벡터의 내적#최댓값#원

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