완전제곱식 인수분해

$\left( x + 2 \right) \left( x + 3 \right) \left( x + 4 \right) \left( x + 5 \right) + k$ $= \left( x + 2 \right) \left( x + 5 \right) \left( x + 3 \right) \left( x + 4 \right) + k$ $= \left( x ^{2} + 7 x + 10 \right) \left( x ^{2} + 7 x + 12 \right) + k$ $x ^{2} + 7 x = X$라 하면 $\left( X + 10 \right) \left( X + 12 \right) + k = X ^{2} + 22 X + 120 + k$가 완전제곱식이 되어야 하므로 $120 + k = 11 ^{2} = 121$에서 $k = 1$이다. $X ^{2} + 22 X + 121$$= ( X + 11 ) ^{2}$ $= \left( x ^{2} + 7 x + 11 \right) ^{2}$ $= \left( x ^{2} + a x + b \right) ^{2}$ 이므로 $a = 7$, $b = 11$이다. 따라서 $a + b + k = 7 + 11 + 1 = 19$이다. [다른 풀이] $x ^{2} + 7 x + 10 = X$라 하면 $X ( X + 2 ) + k = X ^{2} + 2 X + k$에서 $k = 1$이다. $X ^{2} + 2 X + 1$$= ( X + 1 ) ^{2}$ $= \left( x ^{2} + 7 x + 11 \right) ^{2}$ $= \left( x ^{2} + a x + b \right) ^{2}$ 이므로 $a = 7$, $b = 11$이다. 따라서 $a + b + k = 7 + 11 + 1 = 19$이다.