움직이는 넓이 미분

[출제의도] 수학내적문제 해결능력-적분법 두 점 $P , Q$가 원점을 출발한 지 $t$초 후의 $x$좌표는 각각 $t , 2 t$이므로 $t$초 후의 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle S ( t ) = \int _{t} ^{2 t} {( e ^{x} - e ^{- x} ) dx = [ e ^{x} + e ^{- x} ] _{t} ^{2 t}}$ $= ( e ^{2 t} + e ^{- 2 t} ) - ( e ^{t} + e ^{- t} ) \cdots \text{㉠}$ ㉠의 양변을 $t$에 대하여 미분하면 $S' ( t ) = 2 ( e ^{2 t} - e ^{- 2 t} ) - ( e ^{t} - e ^{- t} ) \cdots \text{㉡}$ 이때 $e ^{t} + e ^{- t} = X$라 하면 $\displaystyle X = e ^{t} + e ^{- t} \geq 2 \sqrt{e ^{t} \times e ^{- t}} = 2$ 이고, $e ^{2 t} + e ^{- 2 t} = ( e ^{t} + e ^{- t} ) ^{2} - 2 = X ^{2} - 2$ 이므로 $S ( t ) = 4$이면 ㉠에서 $X ^{2} - 2 - X = 4 , X ^{2} - X - 6 = 0$ $( X + 2 ) ( X - 3 ) = 0$ $X = - 2$또는 $X = 3$ $X \geq 2$이므로 $X = 3$ 이때 $\left( e ^{t} - e ^{- t} \right) ^{2} = ( e ^{t} + e ^{- t} ) ^{2} - 4 = 3 ^{2} - 4 = 5$ $e ^{t} - e ^{- t} > 0$이므로 $\displaystyle e ^{t} - e ^{- t} = \sqrt{5}$ 이고, $\displaystyle e ^{2 t} - e ^{- 2 t} = \left( e ^{t} + e ^{- t} \right) \left( e ^{t} - e ^{- t} \right) = 3 \sqrt{5}$ 따라서 $S ( a ) = 4$일 때 $\displaystyle e ^{a} - e ^{- a} = \sqrt{5} , e ^{2 a} - e ^{- 2 a} = 3 \sqrt{5}$ 이므로 ㉡에서 $\displaystyle S' ( a ) = 2 \times 3 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 5 \sqrt{5}$