공통수학1여러 가지 방정식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

터널 도로 길이

문제

29. 과거에는 $\mathrm{A}$ 도시에서 $\mathrm{B}$ 도시를 갈 때 높은 산이 있어 $\mathrm{C}$ 도시를 경유해야 했고, 이때 $\mathrm{A}$ 도시에서 $\mathrm{C}$ 도시를 경유하여 $\mathrm{B}$ 도시로 가는 도로의 총 길이는 $32 \mathrm{km}$ 였다. 그런데, 산에 터널을 뚫어 $\mathrm{A}$ 도시와 $\mathrm{B}$ 도시를 직접 연결하는 도로를 건설하였더니, $\mathrm{C}$ 도시를 경유할 때보다 $24 \mathrm{km}$ 단축되었다. $\mathrm{A}$ 도시와 $\mathrm{C}$ 도시를 잇는 도로의 길이가 몇 $\mathrm{km}$ 인지 구하시오. (단, 모든 도로는 직선도로이고, $\mathrm{A}$ 도시에서 $\mathrm{B}$ 도시와 $\mathrm{C}$ 도시를 잇는 두 도로는 서로 수직이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 이차연립방정식을 이용하여 실생활의 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

직선도로 AB 의 길이는 $32 - 24 = 8$ (km) 직선도로 AC, BC 의 길이를 각각 $a$ , $b$ 라 하면 $a + b = 32$ ……㉠ $8 ^{2} + a ^{2} = b ^{2}$ ……㉡㉡에서 $64 = ( b + a ) ( b - a )$ ……㉢㉠을 ㉢에 대입하면 $b - a = 2$ ……㉣㉠, ㉣을 연립하여 풀면 $a = 15$ , $b = 17$ 따라서 직선도로 AC 의 길이는 $15$ (km)

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