기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원과 원의 교점

문제

이차곡선 $x ^{2} - 4 x + 9 y ^{2} - 5 = 0$ 과 중심이 $( 2 , 0 )$ 이고 반지름의 길이가 $a$ 인 원이 서로 다른 네 점에서 만날 때, $a$ 의 범위는? [3점] ① $0 < a \leq 2$ ② $1 < a < 3$ ③ $2 \leq a < 4$ ④ $0 < a < 4$ ⑤ $a \geq 2$

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②

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해설

주어진 이차곡선을 변형하면 $( x - 2 ) ^{2} + 9 y ^{2} = 9$ 이므로 $\displaystyle \frac{( x - 2 ) ^{2}}{3 ^{2}} + y ^{2} = 1$ $\displaystyle \frac{x ^{2}}{3 ^{2}} + y ^{2} = 1$ 을 $x$ 축의 방향으로 $2$ 만큼 평행이동한 곡선이므로 그래프는 그림과 같다. 따라서 중심이 $( 2 , 0 )$ 인 원과 서로 다른 네 점에서 만나려면 타원과 원이 $( 2 , 1 ) , ( 2 , - 1 )$ 에서 내접하는 경우의 반지름의 길이가 $1$ 이고, $( 5 , 0 ) , ( - 1 , 0 )$ 에서 외접하는 경우의 반지름의 길이가 $3$ 이므로 $1 < a < 3$

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