기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

타원과 원 접선

문제

타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1의 두 초점 F(6,0)\mathrm{F} ( \mathit{6} , 0 ), F′(−6,0)\mathrm{F}' ( \mathit{-} 6 , 0 )에 대하여 선분 F′F\mathrm{F}' F를 지름으로 하는 원이 있다. 타원과 원의 교점 중 제11사분면에 있는 점을 P\mathrm{P}라 하자. 원 위의 점 P\mathrm{P}에서의 접선이 xx축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 5π6\displaystyle \frac{5 \pi}{6}일 때, 타원의 장축의 길이는? (단, aa, bb는 0<2b<a\displaystyle 0 < \sqrt{2} b < a인 상수이다.) [4점] ①5+63\displaystyle 5 + 6 \sqrt{3}②6+63\displaystyle 6 + 6 \sqrt{3}③7+63\displaystyle 7 + 6 \sqrt{3}④6+73\displaystyle 6 + 7 \sqrt{3}⑤7+73\displaystyle 7 + 7 \sqrt{3}

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②

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해설

[출제의도] 타원의 성질을 이용하여 타원의 장축의 길이를 구하는 문제를 해결한다. 접선이 xx축과 만나는 점을 A\mathrm{A}라 하면 ∠OAP=π6\displaystyle \mathrm{\angle} OAP = \frac{\pi}{6}이고, 직선 OP\mathrm{OP}는 접선과 수직이므로 ∠POF=π3\displaystyle \mathrm{\angle} POF = \frac{\pi}{3} 삼각형 POF\mathrm{POF}는 정삼각형이므로 ∠PFO=π3\displaystyle \angle \mathrm{PFO} = \frac{\pi}{3}, PF‾=6\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 6 선분 F′F\mathrm{F}' F는 지름이므로 직각삼각형 FPF′\mathrm{F} PF'에서 PF′‾=PF‾×tan⁡π3=63\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = \overline{PF} \times \tan \frac{\pi}{3} = 6 \sqrt{3}

따라서 두 점 F\mathrm{F}, F′\mathrm{F}'은 타원의 초점이므로 타원의 정의에 의해 장축의 길이는 PF‾+PF′‾=6+63\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} + {\overline{PF'}} = 6 + 6 \sqrt{3}

태그

#타원#원#접선

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