타원과 쌍곡선 초점

[출제의도] 수학내적문제 해결능력-평면 곡선 세 점 $A , B , C$의 좌표를 $A \left( 3 a , 0 \right)$, $B ( a , 0 )$, $C ( 2 a , 0 )$이라 하자. 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{{\overline{OA}} ^{2}} + \frac{y ^{2}}{{\overline{OA}} ^{2} - {\overline{OC}} ^{2}} = 1$ 에서 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{9 a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{5 a ^{2}} = 1$ 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{{\overline{OB}} ^{2}} - \frac{y ^{2}}{{\overline{OC}} ^{2} - {\overline{OB}} ^{2}} = 1$ 에서 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{3 a ^{2}} = 1$ 따라서 점 $D$의 좌표는 $\displaystyle ( 0 , \sqrt{5} a )$이고, 쌍곡선의 점근선의 방정식은 $\displaystyle y = \pm \sqrt{3} x$이다. $\displaystyle \sqrt{5} a = \sqrt{3} x$에서 $\displaystyle x = \frac{\sqrt{15}}{3} a$이므로 $\displaystyle E \left( \frac{\sqrt{15}}{3} a , \sqrt{5} a \right)$이다. 삼각형 $DOE$의 넓이가 $\displaystyle 5 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \triangle DOE = \frac{1}{2} \times {\overline{OD}} \times {\overline{DE}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{5} a \times \frac{\sqrt{15}}{3} a$ $\displaystyle = \frac{5 \sqrt{3}}{6} a ^{2} = 5 \sqrt{3}$ 즉, $a ^{2} = 6$ 따라서 $\displaystyle a = \sqrt{6}$이므로 타원의 장축의 길이는 $\displaystyle 6 a = 6 \sqrt{6}$이다.