타원과 쌍곡선

타원의 방정식에서 초점은 $x$축 위에 있으므로 쌍곡선의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$$( a > 0$, $b > 0 )$이라 하면 두 꼭지점 사이의 거리는 $2 a$이고, 한 점근선의 방정식이 $\displaystyle y = \sqrt{35} x$ 이므로 $\displaystyle \frac{b}{a} = \sqrt{35}$ 즉, $\displaystyle b = \sqrt{35} a$$\cdots \cdots$㉠ 또한, 타원과 쌍곡선이 초점을 공유하므로 $a ^{2} + b ^{2} = 5 ^{2} - 4 ^{2}$ ∴ $a ^{2} + b ^{2} = 9$ ㉠을 대입하면 $a ^{2} + 35 a ^{2} = 9$ ∴ $\displaystyle a = \sqrt{\frac{9}{36}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ 따라서, 쌍곡선의 두 꼭지점 사이의 거리는 $\displaystyle 2 a = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$