타원과 사각형 넓이 최대

두 양수 $p$, $q$에 대하여 주어진 타원의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{p ^{2}} + \frac{y ^{2}}{q ^{2}} = 1$이라 하자. 타원의 두 초점이 ${\mathrm{F}} \mathit{\left( 1 , 0 \right)}$, ${\mathrm{F}} \mathit{'} \left( - 1 , 0 \right)$이고 단축의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle q = \sqrt{5}$ $p ^{2} = q ^{2} + 1 ^{2} = 6$에서 $\displaystyle p = \sqrt{6}$ 그러므로 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{6} + \frac{y ^{2}}{5} = 1$ 네 선분 ${\mathrm{AB}}$, ${\mathrm{BF}}$, ${\mathrm{FP}}$, ${\mathrm{PA}}$로 둘러싸인 도형의 넓이는 두 삼각형 ${\mathrm{ABF}}$, ${\mathrm{AFP}}$의 넓이의 합과 같고, 삼각형 ${\mathrm{ABF}}$의 넓이는 점 ${\mathrm{P}}$의 위치에 관계없이 일정하므로 삼각형 ${\mathrm{AFP}}$의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 ${\mathrm{P}}$가 ${\mathrm{P}} \mathit{_{0}}$이다. 또한 삼각형 ${\mathrm{AFP}}$의 넓이가 최대이려면 타원 위의 점 ${\mathrm{P}}$에서의 접선의 기울기가 직선 ${\mathrm{AF}}$의 기울기와 같아야 한다. 타원 위의 점 ${\mathrm{P}} \mathit{_{0}} \left( a , b \right)$에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{ax}{6} + \frac{by}{5} = 1$, $\displaystyle y = - \frac{5 a}{6 b} x + \frac{5}{b}$ 이고, 점 ${\mathrm{A}}$의 $y$좌표를 $k$라 하면 직선 ${\mathrm{AF}}$의 기울기는 $- k$이므로 $\displaystyle - \frac{5 a}{6 b} = - k$, $\displaystyle \frac{5 a}{6 b} = k$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 점 ${\mathrm{A}}$와 점 ${\mathrm{B}}$는 $x$축에 대하여 서로 대칭이고 점 ${\mathrm{F}}$와 점 ${\mathrm{F}} \mathit{'}$은 $y$축에 대하여 서로 대칭이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} = {\overline{{\mathrm{AF}} \mathit{'}}}$이다. 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}} + {\overline{{\mathrm{FP}} \mathit{_{0}}}} + {\overline{{\mathrm{P}} \mathit{_{0}} {\mathrm{A}}}}$$\displaystyle = {\overline{{\mathrm{AF}} \mathit{'}}} + {\overline{{\mathrm{FP}} \mathit{_{0}}}} + {\overline{{\mathrm{P}} \mathit{_{0}} {\mathrm{A}}}}$ $\displaystyle = {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{A}}}} + {\overline{{\mathrm{AP}} \mathit{_{0}}}} + {\overline{{\mathrm{FP}} \mathit{_{0}}}} = 2 \sqrt{6}$ 또한 타원의 장축의 길이가 $\displaystyle 2 \sqrt{6}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P} \mathit{_{0}}}} + {\overline{\mathrm{FP} \mathit{_{0}}}} = 2 \sqrt{6}$ 두 식을 연립하여 계산하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P} \mathit{_{0}}}} = {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{A}}} + {\overline{\mathrm{AP} \mathit{_{0}}}}$ 이므로 세 점 $\mathrm{F} \mathit{'} \left( - 1 , 0 \right)$, ${\mathrm{A}} \mathit{\left( 0 , k \right)}$, ${\mathrm{P}} \mathit{_{0}} \left( a , b \right)$는 한 직선 위에 있다. 그러므로 $\displaystyle \frac{k - 0}{0 - \left( - 1 \right)} = \frac{b - 0}{a - \left( - 1 \right)}$ 에서 $\displaystyle k = \frac{b}{a + 1}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle \frac{5 a}{6 b} = \frac{b}{a + 1}$, $5 a ^{2} + 5 a - 6 b ^{2} = 0$이고 점 ${\mathrm{P}} \mathit{_{0}} \left( a , b \right)$가 타원 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{a ^{2}}{6} + \frac{b ^{2}}{5} = 1$에서 $5 a ^{2} + 6 b ^{2} = 30$ 두 식을 연립하여 계산하면 $2 a ^{2} + a - 6 = \left( 2 a - 3 \right) \left( a + 2 \right) = 0$ $a > 0$이므로 $\displaystyle a = \frac{3}{2}$이고, $\displaystyle 5 \times \left( \frac{3}{2} \right) ^{2} + 6 b ^{2} = 30$에서 $\displaystyle b ^{2} = \frac{25}{8}$, $\displaystyle b = \frac{5 \sqrt{2}}{4}$ 따라서 $\displaystyle a \times b = \frac{3}{2} \times \frac{5 \sqrt{2}}{4} = \frac{15 \sqrt{2}}{8}$