기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

타원 위 x+y 최댓값

문제

타원 9x2+16y2=1449 x ^{2} + 16 y ^{2} = 144위의 점(x,y)( x , y )에 대하여 x+yx + y의 최댓값을 MM이라 할 때, M2M ^{2}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

x+y=kx + y = k라 두고 이 식을 타원에 대입하면 9x2+16(k−x)2=1449 x ^{2} + 16 ( k - x ) ^{2} = 144 25x2−32kx+(16k2−144)=025 x ^{2} - 32 k x + ( 16 k ^{2} - 144 ) = 0이 두 실근을 가져야하므로 D4=(16k)2−25(16k2−144)≥0\displaystyle \frac{D}{4} = ( 16 k ) ^{2} - 25 ( 16 k ^{2} - 144 ) \geq 0 144k2≤25×144144 k ^{2} \leq 25 \times 144 ∴k2≤25\therefore k ^{2} \leq 25이므로 −5≤k≤5- 5 \leq k \leq 5이므로 최댓값 M=5M = 5 ∴M2=25\therefore M ^{2} = 25

태그

#타원#판별식#접선

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