타원 위 x+y 최대

타원의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 \left( a > b > 0 \right)$이라 하면 초점의 좌표가 $\displaystyle \left( \sqrt{3} , 0 \right)$,$\displaystyle \left( - \sqrt{3} , 0 \right)$이므로 $b ^{2} = a ^{2} - c ^{2}$에서 $\displaystyle b ^{2} = a ^{2} - \left( \pm \sqrt{3} \right) ^{2} = a ^{2} - 3$ 또한, 타원이 $\left( 0 , 1 \right)$을 지나므로 $\displaystyle \frac{1}{b ^{2}} = 1$ $\therefore$$b ^{2} = 1$, $a ^{2} = b ^{2} + 3 = 4$ 따라서 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + y ^{2} = 1$이다. $x + y = k$로 놓으면 $y = - x + k$가 다음 그림과 같을 때 최댓값을 갖는다.

즉, 직선이 타원과 접할 때이므로 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + \left( - x + k \right) ^{2} = 1$$\leftrightarrow$$\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + x ^{2} - 2 kx + k ^{2} = 1$ $\leftrightarrow$$5 x ^{2} - 8 kx + 4 k ^{2} - 4 = 0$ 이 방정식의 판별식을 $D$라고 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 16 k ^{2} - 5 \left( 4 k ^{2} - 4 \right) = 0$$\leftrightarrow$$4 k ^{2} = 20$$\leftrightarrow$$k ^{2} = 5$ $\therefore$$\displaystyle k = \sqrt{5} \left( \because k > 0 \right)$