기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

타원 위 점과 내적 최대

문제

두 점 A(2,0)\mathrm{A} \left( 2 , 0 \right), B(0,1)\mathrm{B} \left( 0 , 1 \right)와 타원 x24+y2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} + y ^{2} = 1위를 움직이는 점 P\mathrm{P}에 대하여, AB⃗∙AP⃗\vec{\mathrm{AB}} \bullet \vec{\mathrm{AP}}가 최대가 되는 점 P\mathrm{P}에서의 접선의 방정식은 y=ax+by = ax + b이다. a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 내적의 정의와 이차곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 점 P\mathrm{P}에서 직선 AB{\mathrm{AB}}에 내린 수선의 발을 P′\mathrm{P}'이라 하면, 두 벡터의 내적 AB⃗∙AP⃗=AB‾×AP′‾\displaystyle \vec{\mathrm{AB}} \bullet \vec{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AB}} \times \mathrm{\overline{AP'}}이다. AP′‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP} \mathit{'}}가 최대가 되는 점 P\mathrm{P}는 직선 AB{\mathrm{AB}}와 수직인 기울기를 갖고, 타원에 접하는 접점 중에서 제22사분면 위의 점이다. 따라서, 접선의 기울기는 22이고, 접선의 방정식은 y=2x+17\displaystyle y = 2 x + \sqrt{17}

태그

#타원#접선#벡터의 내적

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