타원·포물선 삼각형 넓이

타원의 중심인 원점과 초점 사이의 거리가 $2$이고 장축의 길이가 $12$이므로 타원의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{32} = 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 원점을 꼭짓점으로 하고 직선 $x = \mathit{-} 2$를 준선으로 하는 포물선의 방정식은 $y ^{2} = 8 x$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡을 연립하면 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{36} + \frac{8 x}{32} = 1$, $x ^{2} + 9 x - 36 = 0$ $( x + 12 ) ( x - 3 ) = 0$ $\therefore$$x = 3$ 또는 $x = \mathit{-} 12$ 따라서 제$1$사분면 위의 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $3$이므로 $\displaystyle \mathrm{A} \mathit{\left( 3 , 2 \sqrt{6} \right)}$, $\displaystyle {\mathrm{\overline{AF}}} = 5$

타원 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{APF}$의 넓이의 최댓값은 그림에서와 같이 점 $\mathrm{P}$가 직선 $\mathrm{AF}$와 평행한 직선 $l$이 타원과 접하게 되는 점 $\mathrm{P}'$의 위치에 있을 때이다. 직선 $\mathrm{AF}$의 기울기는 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{6}}{3 - 2} = 2 \sqrt{6}$이므로 직선 $l$의 방정식은 $y$$\displaystyle = 2 \sqrt{6} x + \sqrt{36 \times \left( 2 \sqrt{6} \right) ^{2} + 32}$ $\therefore$$\displaystyle 2 \sqrt{6} x - y + 8 \sqrt{14} = 0$ 직선 $\mathrm{AF}$ 위의 점 $\mathrm{F} \mathit{\left( 2 , 0 \right)}$와 직선 $l$ 사이의 거리를 $h$라 하면 $\displaystyle h = \frac{\left| 4 \sqrt{6} + 8 \sqrt{14} \right|}{\sqrt{\left( 2 \sqrt{6} \right) ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} = \frac{4 \sqrt{6} + 8 \sqrt{14}}{5}$ $\therefore$$\triangle \mathrm{AP}' F$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\mathrm{\overline{AF}}} \mathit{\times} h$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 5 \times \frac{4 \sqrt{6} + 8 \sqrt{14}}{5}$ $\displaystyle = 2 \sqrt{6} + 4 \sqrt{14}$