기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

타원 접선과 삼각형

문제

그림과 같이 두 점 F(c,0)F \left( c , 0 \right), F′(−c,0)F' \left( - c , 0 \right) (c>0)\left( c > 0 \right)을 초점으로 하는 타원 x216+y212=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{12} = 1 위의 점 P(2,3)\mathrm{P} \left( 2 , 3 \right)에서 타원에 접하는 직선을 ll이라 하자. 점 F\mathrm{F}를 지나고 ll과 평행한 직선이 타원과 만나는 점 중 제22사분면 위에 있는 점을 Q\mathrm{Q}라 하자. 두 직선 F′Q\mathrm{F}' Q와 ll이 만나는 점을 R\mathrm{R}, ll과 xx축이 만나는 점을 S\mathrm{S}라 할 때, 삼각형 SRF′\mathrm{SRF}'의 둘레의 길이는? [4점]

①3030②3131③3232④3333⑤3434

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①

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해설

[출제의도] 타원의 접선의 방정식을 구할 수 있고 타원의 정의를 이용하여 삼각형의 변의 길이의 합을 구할 수 있는가? 점 P(2,3)\mathrm{P} \left( 2 , 3 \right)에서의 접선의 방정식은 2x16+3y12=1\displaystyle \frac{2 x}{16} + \frac{3 y}{12} = 1 x8+y4=1\displaystyle \frac{x}{8} + \frac{y}{4} = 1 그러므로 점 S\mathrm{S}의 좌표는 (8,0)\left( 8 , 0 \right)이다. 한편, c=16−12=2\displaystyle c = \sqrt{16 - 12} = 2이므로 F(2,0)\mathrm{F} \left( 2 , 0 \right), F′(−2,0)\mathrm{F}' \left( - 2 , 0 \right) 이때, 두 삼각형 F′FQ\mathrm{F}' FQ, F′SR\mathrm{F}' SR의 둘레의 길이의 비는 2:52 : 5 한편, 삼각형 F′FQ\mathrm{F}' FQ의 둘레의 길이는 타원의 정의에 의해 FQ‾+QF′‾=2×4=8\displaystyle \mathrm{\overline{FQ}} + {\overline{QF'}} = 2 \times 4 = 8이므로 FF′‾+FQ‾+QF′‾=4+8=12\displaystyle \mathrm{\overline{FF'}} + {\overline{FQ}} + {\overline{QF'}} = 4 + 8 = 12 따라서, 구하는 삼각형 SRF′\mathrm{SRF}'의 둘레의 길이를 ll이라 하면 12:l=2:512 : l = 2 : 5이므로 l=30l = 30

태그

#타원#접선#닮음

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