타원 접선 거리 관계

(ㄱ) 점$P$가 $x$축 위에 있을 때 $\displaystyle \alpha \beta = ( \sqrt{2} - 1 ) ( \sqrt{2} + 1 ) = 1$ (ㄴ) 점$P$가 $x$축 위에 있지 않을 때 타원 위의 점 $P$에서 접선의 기울기를 $m$이라고 하면 타원의 접선의 방정식은 $\displaystyle y = mx \pm \sqrt{2 m ^{2} + 1}$이다. 두 초점 $( - 1 , 0 ) , ( 1 , 0 )$에서 접선까지의 거리를 각각 구하면 $\displaystyle \alpha = \frac{\left| - m \pm \sqrt{2 m ^{2} + 1} \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}}$ , $\displaystyle \beta = \frac{\left| m \pm \sqrt{2 m ^{2} + 1} \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}}$ 이때, $\displaystyle \alpha \beta = \frac{\left| - m \pm \sqrt{2 m ^{2} + 1} \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} \frac{\left| m \pm \sqrt{2 m ^{2} + 1} \right|}{\sqrt{m ^{2} + 1}} = 1$ 이다. 따라서 (ㄱ),(ㄴ)에 의해 $\displaystyle \beta = \frac{1}{\alpha}$의 관계를 나타내는 그래프의 개형은 ②이다.