탄젠트 치환 수열 증명

(가)$\displaystyle \frac{1 + \sin \alpha _{n}}{\cos \alpha _{n}}$을 정리하여보자. $\displaystyle \sin \alpha _{n} = 2 \sin \frac{\alpha _{n}}{2} \mathrm{c} os \frac{\alpha _{n}}{2}$, $\displaystyle \cos \alpha _{n} = \cos ^{2} \frac{\alpha _{n}}{2} - \sin ^{2} \frac{\alpha _{n}}{2}$ 분자는 $\displaystyle \left( \sin \frac{\alpha _{n}}{2} + \cos \frac{\alpha _{n}}{2} \right) ^{2}$이고 분모는 $\displaystyle \left( \cos \frac{\alpha _{n}}{2} - \sin \frac{\alpha _{n}}{2} \right) \left( \cos \frac{\alpha _{n}}{2} + \sin \frac{\alpha _{n}}{2} \right)$ 이므로 $\displaystyle \frac{1 + \sin \alpha _{n}}{\cos \alpha _{n}}$=$\displaystyle \frac{\cos \frac{\alpha _{n}}{2} + \sin \frac{\alpha _{n}}{2}}{\cos \frac{\alpha _{n}}{2} - \sin \frac{\alpha _{n}}{2}}$이다. 분모, 분자를 $\displaystyle \cos \frac{\alpha _{n}}{2}$로 나누면 $\displaystyle \frac{1 + \tan \frac{\alpha _{n}}{2}}{1 - \tan \frac{\alpha _{n}}{2}} = \frac{\tan 45 ^\circ + \tan \frac{\alpha _{n}}{2}}{1 - \tan 45 ^\circ \tan \frac{\alpha _{n}}{2}}$$\displaystyle = \tan \left( 45 ^\circ + \frac{\alpha _{n}}{2} \right)$ (나)$\displaystyle \frac{\tan \beta _{n}}{1 + \sec \beta _{n}} =$$\displaystyle \frac{\sin \beta _{n}}{1 + \cos \beta _{n}}$에서 $\displaystyle \sin \beta _{n} = 2 \sin \frac{\beta _{n}}{2} \mathrm{c} os \frac{\beta _{n}}{2}$, $\displaystyle \cos \beta _{n} = 2 \cos ^{2} \frac{\beta _{n}}{2} - 1$에 의하여 $\displaystyle \tan \frac{\beta _{n}}{2}$이 된다. (다) $\displaystyle \gamma _{n} = \frac{30 ^\circ}{2 ^{n-1}}$에서 $n$은 자연수이므로 $0 < \gamma _{n} \leq 30 ^\circ$을 얻을 수 있다. 따라서 $\displaystyle 0 < \tan \gamma _{n} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$이 된다.