미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

탄젠트 부등식

문제

0<x<π4\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{4}인 모든 xx에 대하여 부등식 tan⁡2x>ax\tan 2 x > ax를 만족하는 aa의 최대값은? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③32\displaystyle \frac{3}{2}④22⑤52\displaystyle \frac{5}{2}

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④

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해설

f(x)=tan⁡2xf ( x ) = \tan 2 x라 하자. 주어진 조건을 만족하려면 그림과 같이 원점에 가까운 점에서 f(x)f ( x )의 접선의 기울기가 aa 이상이면 되므로 f′(x)=2sec⁡22xf' ( x ) = 2 \sec ^{2} 2 x에서 lim⁡x→+02sec⁡22x≥a\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow + 0} 2 \sec ^{2} 2 x \geq a ∴ a≤2a \leq 2 따라서, aa의 최대값은 22이다.

태그

#삼각함수#부등식#미분

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