미적분Ⅱ여러 가지 적분법AI기본 문제 (3점 중반)

tan²x의 부정적분

문제

함수 $f ( x )$ 의 도함수가 $f' ( x ) = \tan ^{2} x$ 이고 $f ( 0 ) = 0$ 일 때, $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{4} \right)$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle 1 - \frac{\pi}{4}$ ② $\displaystyle 1 - \frac{\pi}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ④ $\displaystyle 1 + \frac{\pi}{4}$ ⑤ $\displaystyle 1 + \frac{\pi}{2}$

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①

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해설

$\tan ^{2} x = \sec ^{2} x - 1$ 이므로 $\displaystyle f ( x ) = \int ( \sec ^{2} x - 1 ) dx = \tan x - x + C$ ( $C$ 는 적분상수) $f ( 0 ) = 0 - 0 + C = 0$ 에서 $C = 0$ $f ( x ) = \tan x - x$ 따라서 $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{4} \right) = 1 - \frac{\pi}{4}$ ①

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