순허수인 x가 하나뿐일 조건

$z$가 순허수이려면 $x ^{2} - 2 x + k = 0$ ㉠ 이고 $x ^{2} - 4 \ne 0$, 즉 $x \ne 2$, $x \ne - 2$이어야 한다. 조건을 만족시키는 $x$가 오직 하나인 경우는 다음과 같다. (ⅰ) ㉠이 중근을 갖고 그 근이 $2$, $- 2$가 아닐 때 판별식에서 $1 - k = 0$, $k = 1$이고 이때 중근은 $x = 1$이므로 조건을 만족시킨다. (ⅱ) ㉠이 서로 다른 두 실근을 갖고 그중 하나만 $2$ 또는 $- 2$일 때 $x = 2$가 근이면 $4 - 4 + k = 0$에서 $k = 0$이고 ㉠은 $x ( x - 2 ) = 0$이므로 $x = 0$만 남는다. $x = - 2$가 근이면 $4 + 4 + k = 0$에서 $k = - 8$이고 ㉠은 $( x + 2 ) ( x - 4 ) = 0$이므로 $x = 4$만 남는다. 두 근이 $2$, $- 2$이면 두 근의 합이 $0$이어야 하는데 ㉠의 두 근의 합은 $2$이므로 불가능하다. (ⅰ), (ⅱ)에서 $k = 1$, $0$, $- 8$ 따라서 모든 실수 $k$의 값의 합은 $- 7$이므로 답은 ③이다.