수직인 두 접선

[출제의도] 두 직선의 위치 관계를 활용하여 문제 해결하기 점 $( a , a )$를 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y - a = m ( x - a )$, $y = m x - a m + a$ 직선 $y = m x - a m + a$가 곡선 $y = x ^{2} - 4 x + 10$에 접하므로 $x ^{2} - 4 x + 10 = m x - a m + a$에서 이차방정식 $x ^{2} - ( m + 4 ) x + a m - a + 10 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $D$$= ( m + 4 ) ^{2} - 4 ( a m - a + 10 )$ $= m ^{2} + ( 8 - 4 a ) m + 4 a - 24 = 0$ 이차방정식 $m ^{2} + ( 8 - 4 a ) m + 4 a - 24 = 0$은 서로 다른 두 실근을 가지므로 두 근을 $m _{1}$, $m _{2}$라 하면 두 접선의 기울기는 각각 $m _{1}$, $m _{2}$이다. 두 접선이 서로 수직이므로 $m _{1} m _{2} = - 1$ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $m _{1} + m _{2} = 4 a - 8$, $m _{1} m _{2} = 4 a - 24$ $4 a - 24 = - 1$에서 $4 a = 23$이므로 $m _{1} + m _{2} = 4 a - 8 = 15$ 따라서 두 접선의 기울기의 합은 $\mathrm{15}$