수직이등분선 위의 점과 삼각형의 넓이

점 $\mathrm{P}$ 의 좌표를 $\left( x , y \right)$ 라 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} = \overline{\mathrm{PB}}$ 에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PA}} ^{2} = \overline{\mathrm{PB}} ^{2}$ 이므로 $\left( x - 1 \right) ^{2} + \left( y - 3 \right) ^{2} = \left( x - 5 \right) ^{2} + \left( y - 5 \right) ^{2}$ $- 2 x + 1 - 6 y + 9 = - 10 x + 25 - 10 y + 25$ $8 x + 4 y = 40$ 에서 $2 x + y = 10$ 즉 점 $\mathrm{P}$ 는 직선 $y = 10 - 2 x$ 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} ^{2} = x ^{2} + y ^{2} = x ^{2} + \left( 10 - 2 x \right) ^{2} = 5 x ^{2} - 40 x + 100$ $= 5 \left( x - 4 \right) ^{2} + 20$ 이므로 $x = 4$ 일 때 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}$ 는 최소이고, 점 $\mathrm{Q}$ 의 좌표는 $\left( 4 , 2 \right)$ 이다. 한편 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{\left( 5 - 1 \right) ^{2} + \left( 5 - 3 \right) ^{2}} = 2 \sqrt{5}$ 이고 선분 $\mathrm{AB}$ 의 중점을 $\mathrm{M}$ 이라 하면 $\mathrm{M} \mathit{\left( 3 , 4 \right)}$ 이다. 점 $\mathrm{Q}$ 는 선분 $\mathrm{AB}$ 의 수직이등분선 위의 점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{QM}}$ 는 삼각형 $\mathrm{QAB}$ 에서 밑변 $\mathrm{AB}$ 에 대한 높이이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{QM}} = \sqrt{\left( 4 - 3 \right) ^{2} + \left( 2 - 4 \right) ^{2}} = \sqrt{5}$ 따라서 삼각형 $\mathrm{QAB}$ 의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$