기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

쌍곡선의 접선

문제

좌표평면 위의 점 (−1,0)\left( - 1 , 0 \right)에서 쌍곡선 x2−y2=2x ^{2} - y ^{2} = 2에 그은 접선의 방정식을 y=mx+ny = mx + n이라 할 때, m2+n2m ^{2} + n ^{2}의 값은? (단, mm, nn은 상수이다.) [3점] ①52\displaystyle \frac{5}{2}②33③72\displaystyle \frac{7}{2}④44⑤92\displaystyle \frac{9}{2}

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④

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해설

접선 y=mx+ny = mx + n이 점 (−1,0)( - 1 , 0 )을 지나므로 0=−m+n0 = - m + n에서 m=nm = n 직선 y=mx+my = mx + m과 쌍곡선 x2−y2=2x ^{2} - y ^{2} = 2가 한 점에서 만나므로 방정식 x2−(mx+m)2=2x ^{2} - ( mx + m ) ^{2} = 2 즉, (1−m2)x2−2m2x−m2−2=0( 1 - m ^{2} ) x ^{2} - 2 m ^{2} x - m ^{2} - 2 = 0 의 판별식을 DD라 하면 D4=m4+(1−m2)(m2+2)=0\displaystyle \frac{D}{4} = m ^{4} + ( 1 - m ^{2} ) ( m ^{2} + 2 ) = 0 m4+m2+2−m4−2m2=0m ^{4} + m ^{2} + 2 - m ^{4} - 2 m ^{2} = 0 m2=2m ^{2} = 2 ∴ m2+n2=m2+m2=2+2=4m ^{2} + n ^{2} = m ^{2} + m ^{2} = 2 + 2 = 4

태그

#쌍곡선#접선#판별식

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