기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

쌍곡선과 타원의 장축

문제

두 초점이 F(c,0){\mathrm{F}} \mathit{\left( c , 0 \right)}, F′(−c,0)(c>0)\mathrm{F} \mathit{'} \left( - c , 0 \right) \left( c > 0 \right)인 쌍곡선 x24−y25=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1이 있다. 직선 x=cx = c가 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제11사분면 위의 점을 P{\mathrm{P}}, 제44사분면 위의 점을 P′{\mathrm{P}} \mathit{'}이라 하자. 선분 F′P{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{P}} 위에 PP′‾=QP′‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{PP}} \mathit{'}}} = {\overline{{\mathrm{QP}} \mathit{'}}}인 점 Q{\mathrm{Q}}를 잡자. 두 점 P{\mathrm{P}}, P′{\mathrm{P}} \mathit{'}을 초점으로 하고 점 Q{\mathrm{Q}}를 지나는 타원의 장축의 길이는 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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128

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해설

c2=4+5=9c ^{2} = 4 + 5 = 9이므로 c=3c = 3 점 P{\mathrm{P}}의 xx좌표가 33이므로 324−y25=1\displaystyle \frac{3 ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{5} = 1에서 점 P{\mathrm{P}}의 yy좌표는 52\displaystyle \frac{5}{2} FP‾=52\displaystyle {\overline{\mathrm{FP}}} = \frac{5}{2}이고 쌍곡선의 주축의 길이가 44이므로 F′P‾=FP‾+4=132\displaystyle {\overline{{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{P}}}} = {\overline{\mathrm{FP}}} + 4 = \frac{13}{2} F′P′‾=F′P‾\displaystyle {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P} \mathit{'}}} = {\overline{\mathrm{F} \mathit{'} \mathrm{P}}}, PP′‾=QP′‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{PP}} \mathit{'}}} = {\overline{{\mathrm{QP}} \mathit{'}}}이고 ∠F′PP′=∠QPP′\angle {\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{PP}} \mathit{'} = \angle {\mathrm{QPP}} \mathit{'}이므로 삼각형 F′P′P{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{P}} \mathit{'} {\mathrm{P}}와 삼각형 P′PQ{\mathrm{P}} \mathit{'} {\mathrm{PQ}}는 서로 닮음인 이등변삼각형이다. PP′‾F′P‾=PQ‾P′P‾\displaystyle \frac{{\overline{{\mathrm{PP}} \mathit{'}}}}{{\overline{{\mathrm{F}} \mathit{'} {\mathrm{P}}}}} = \frac{{\overline{\mathrm{PQ}}}}{{\overline{{\mathrm{P}} \mathit{'} {\mathrm{P}}}}}에서 1013=PQ‾5\displaystyle \frac{10}{13} = \frac{{\overline{\mathrm{PQ}}}}{5}, 즉 PQ‾=5013\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = \frac{50}{13} 타원의 장축의 길이는 P′Q‾+PQ‾=5+5013=11513\displaystyle {\overline{{\mathrm{P}} \mathit{'} {\mathrm{Q}}}} + {\overline{\mathrm{PQ}}} = 5 + \frac{50}{13} = \frac{115}{13}이므로 p=13p = 13, q=115q = 115 따라서 p+q=13+115=128p + q = 13 + 115 = 128

태그

#쌍곡선#타원#닮음

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